內射維度、投射維度與同調維度

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

投射維度內射維度同調維度(又稱整體維度)是交換代數中考慮的重要不變量

定義[编辑]

以下設 交換環,而 -

內射維度 定義為其內射分解的最短長度(當 時置 )。投射維度 則定義為其投射分解的最短長度。

利用同調代數的工具,可以進一步得到下述刻劃:

命題一. 設 為整數,下述條件等價:

  • 對所有 -模 ,有
  • 對所有理想 ,有
  • 對所有正合序列 ,若每個 都是內射模,則 也是內射模。

命題二. 設 為整數,下述條件等價:

  • 對所有 -模 ,有
  • 對所有正合序列 ,若每個 都是投射模,則 也是投射模。

諾特環 為有限生成 -模時,上述條件更等價於

  • 對所有極大理想 ,有
  • 對所有極大理想 ,有

由此可定義環 同調維度 為:

  • 存在 -模 使得 的最大整數 (可能是無窮大)。

性質[编辑]

內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係:

其中的 取遍 的所有素理想(或極大理想),而投射維度給出 上半連續函數。事實上,僅須考慮 的支撐集中的素理想。

由此立刻得到

此外,它們與模的深度也有密切的關係,例如:

定理 (Auslander-Buchsbaum):設 為局部諾特環 為有限生成 -模,而且其投射維度有限,則

定理:設 為局部諾特環 為有限生成 -模,而且其內射維度有限,則

最後,同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃:

定理(Serre):一個局部諾特環 是正則局部環的充要條件是 ,此時

文獻[编辑]