內自同構

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抽象代數群論中,內自同構自同構的一種。設gG的一個元素,則g對應的內自同構,是以g共軛作用定義如下

\iota_g\colon G\to G, x\mapsto gxg^{-1}

G的一個自同構,如果是G的元素的共軛作用,便稱為內自同構

性質[编辑]

gG中心Z(G)內,則\iota_g是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言,\iota_g不動點集,正是g中心化子CG(g)。

內自同構\iota_g逆元\iota_g^{-1}=\iota_{g^{-1}}。兩個內自同構\iota_g, \iota_h複合\iota_g\circ \iota_h=\iota_{gh}

由群的中心的基本性質可知,若Inn(G)是循環群,則Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G無中心,則G稱為完備群

G完滿群且Inn(G)是單群,則G稱為擬單群

內自同構群[编辑]

G的內自同構組成內自同構群Inn(G)。內自同構群Inn(G)與群G對其中心Z(G)的商群G/Z(G)同構。

內自同構群Inn(G)是G的自同構群Aut(G)中的正規子群,其對應商群記為Out(G)=Aut(G)/Inn(G),稱為外自同構群

上述關係可以用以下兩個短正合列表示:

1\to \mathrm Z(G)\to G\to \mathrm{Inn}(G)\to 1
1\to \mathrm{Inn}(G)\to \mathrm{Aut}(G)\to \mathrm{Out}(G)\to 1

正規子群[编辑]

G的子群HG正規子群,當HG的任一內自同構的作用下不變。這時G的內自同構限制到H上是H的自同構(未必是H的內自同構),因而有群同態G\to\mathrm{Aut}(H)。這個群同態的HG中的中心化子CG(H)。

對一般的子群H,可取其在G中的正規化子NG(H),則H是NG(H)的正規子群,故有群同態\mathrm N_G(H)\to\mathrm{Aut}(H),其核是CG(H)。因此NG(H)/CG(H)可以嵌入到Aut(H)內,即

\mathrm N_G(H)/\mathrm C_G(H)\to \mathrm{Aut}(H)

單射

參考[编辑]