全實域

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代數數論中,若數域 K 的每個嵌入 \sigma: K \to \mathbb{C} 的像都落在實數域 \mathbb{R},則稱 K全實域全實數域

K 可表為 K=\mathbb{Q}(\alpha),設 \alpha\mathbb{Q} 上的的極小多項式P(X),則嵌入映射 \sigma: K \to \mathbb{C} 透過 \sigma \mapsto \sigma(\alpha) 一一對應於 P(X)\mathbb{C} 裡的根。K 是全實域若且唯若 P(X) 僅有實根。

另一種判準是:K 是全實域若且唯若 K \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{R} \simeq \mathbb{R}^{[K:\mathbb{Q}]}

全實域在代數數論中是較容易處理的數域。對於任意的阿貝爾擴張 L/\mathbb{Q},或者 L 是全實域,或者存在極大的全實子域 K/\mathbb{Q} 使得 [L:K]=2

文獻[编辑]

  • Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie (1992), Springer-Verlag. ISBN 3-5403-7547-3