共變和反變

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數學裏,反變(contravariant)和共變(covariant)描述一個向量(或更廣義來說,張量)的坐標,在向量空間基底/坐標系轉換之下,會如何改變。

反變和共變在張量場的演算中不可或缺,是了解狹義相對論廣義相對論必須的數學基礎。

轉換方式[编辑]

向量:反變轉換[编辑]

  • 標記法說明:向量 \mathbf{v}\,\!向量空間 V\,\! 的元素。向量基底 \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ... , \mathbf{e}_n\,\! 構成了向量空間的一個基底的,而 v^1, v^2, ..., v^n\,\! 則表示 \mathbf{v}\,\! 的分量。

(註:p^2\,\! 不代表平方,而是代表坐標,在較基礎的數學上,常寫作 p_2\,\! 。)

V有另一個基底 (\bar{\mathbf{e}}^1, ... ,\bar{\mathbf{e}}^n)\,\! ,對應這個基底,\mathbf{v}\,\! 有分量 \bar{v}^1, \bar{v}^2, ..., \bar{v}^n\,\! 。對於1...n之間其中一個特定的整數 \mu\,\! ,我們知道 \bar{v}^{\mu} \,\!v^1, v^2, ..., v^n\,\! 的關係:

 \bar v^{\mu} = \frac{ \part \bar{x}^{\mu} }{ \part  x^1} v^1 + \frac{ \part \bar{x}^{\mu} }{ \part x^2} v^2 + ... + \frac{ \part \bar{x}^{\mu} }{ \part x^n } v^n \,\!

使用愛因斯坦求和約定可寫成:

 \bar{v}^{\mu} = \frac{ \part \bar{x}^{\mu} }{ \part  x^i} v^i \,\!

餘向量:共變轉換[编辑]

對於V的基底 {\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ... , \mathbf{e}_n}\,\! ,有屬於V*(V的對偶空間)的對偶基底 \bar{\mathbf{e}}_1, \bar{\mathbf{e}}_2, ..., \bar{\mathbf{e}}_n\,\!

對於1...n之間其中一個特定的整數 \mu\,\! ,我們知道 \bar{\mathbf{e}}_{\mu}\,\!\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ..., \mathbf{e}_n\,\! 的關係:

 \bar{\mathbf{e}}_{\mu} = \frac{ \part x^1 }{ \part \bar{x}^{\mu}} \mathbf{e}_1 + \frac{ \part x^2 }{ \part \bar{x}^{\mu}} \mathbf{e}_2 + ... + \frac{ \part x^n }{ \part \bar{x}^{\mu}} \mathbf{e}_n \,\!

使用愛因斯坦求和約定寫成:

 \bar{\mathbf{e}}_{\mu} = \frac{ \part x^i }{ \part \bar{x}^{\mu} } \mathbf{e}_{i} \,\!

向量的共變分量和反變分量[编辑]

歐幾里得空間 V\,\! 裏,共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量;對於所有餘向量 \mathbf{w}\,\! ,通過下述方程式,向量 \mathbf{v}\,\!線性泛函 \alpha(\mathbf{w})\,\! ,唯一地確定了餘向量 \mathbf{w}\,\!

\alpha(\mathbf{w}) = \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}\,\!

逆過來,通過上述方程式,線性泛函 \alpha(\mathbf{w})\,\! 和每一個餘向量,唯一地確定了向量 \mathbf{v}\,\! 。由於這向量與餘向量的相互辨認,我們可以提到向量的共變分量和反變分量;也就是說,它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 V\,\! 的一個基底 \mathfrak{f}=(X_1,X_2,\dots,X_n)\,\! ,則必存在一個唯一的對偶基底 \mathfrak{f}^{\sharp}=(Y^1,Y^2,\dots,Y^n)\,\! ,滿足

Y^i \cdot X_j = \delta^i_j\,\!

其中,\delta^i_j\,\!克羅內克函數

以這兩種基底,任意向量 \mathbf{v}\,\! 可以寫為兩種形式

\begin{align}
v &= \sum_i v^i[\mathfrak{f}]X_i =  \mathfrak{f}\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}]\\
&=\sum_i v_i[\mathfrak{f}]Y^i = \mathfrak{f}^\sharp\,\mathbf{v}[\mathfrak{f}^\sharp]
\end{align}
\,\!

其中,v^i[\mathfrak{f}]\,\! 是向量 \mathbf{v}\,\! 對於基底 \mathfrak{f}\,\! 的反變分量,v_i[\mathfrak{f}]\,\! 是向量 \mathbf{v}\,\! 對於基底 \mathfrak{f}\,\! 的共變分量,

歐幾里得空間[编辑]

將向量 \mathbf{a}\,\! 投影於坐標軸 \mathbf{e}^i\,\! ,可以求得其反變分量 a^i\,\! ;將向量 \mathbf{a}\,\! 投影於坐標曲面法線 \mathbf{e}_i\,\! ,可以求得其共變分量 a_i\,\!

歐幾里得空間3裏,使用內積運算,能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底,其基底向量為 \mathbf{e}_1\,\!\mathbf{e}_2\,\!\mathbf{e}_3\,\! ,就可以計算其對偶基底的基底向量:

 \mathbf{e}^1 = \frac{\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3}{\tau} ; \qquad \mathbf{e}^2 = \frac{\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1}{\tau}; \qquad \mathbf{e}^3 = \frac{\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2}{\tau}\,\!

其中,\tau=\mathbf{e}_1\cdot(\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3)\,\! 是三個基底向量 \mathbf{e}_1\,\!\mathbf{e}_2\,\!\mathbf{e}_3\,\! 所形成的平行六面體的體積。

反過來計算,

 \mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3}{\tau'} ; \qquad \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1}{\tau'}; \qquad \mathbf{e}_3 = \frac{\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2}{\tau'}\,\!

其中,\tau'=\mathbf{e}^1\cdot(\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)=1/\tau\,\! 是三個基底向量 \mathbf{e}^1\,\!\mathbf{e}^2\,\!\mathbf{e}^3\,\! 所形成的平行六面體的體積 。

雖然 \mathbf{e}_i\,\!\mathbf{e}^j\,\! 並不相互標準正交,它們相互對偶:

\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}^j = \delta_i^j\,\!

這樣,任意向量 \mathbf{a}\,\! 的反變坐標為

 a^1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^1; \qquad a^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^2; \qquad a^3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^3\,\!

類似地,共變坐標為

 a_1 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1; \qquad a_2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2; \qquad a_3 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3\,\!

這樣, \mathbf{a}\,\! 可以表達為

\mathbf{a} = a_i \mathbf{e}^i = a_1 \mathbf{e}^1 + a_2 \mathbf{e}^2 + a_3 \mathbf{e}^3  \,\!

或者,

\mathbf{a} = a^i \mathbf{e}_i = a^1 \mathbf{e}_1 + a^2 \mathbf{e}_2 + a^3 \mathbf{e}_3\,\!

綜合上述關係式,

 \mathbf{a} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}^i = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}^i) \mathbf{e}_i \,\!

向量 \mathbf{a}\,\! 的共變坐標為

a_i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}_i = (a^j \mathbf{e}_j)\cdot \mathbf{e}_i = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i) a^j=g_{ji}a^j\,\!

其中,g_{ji}=\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_i\,\!度規張量

向量 \mathbf{a}\,\! 的反變坐標為

a^i = \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}^i = (a_j \mathbf{e}^j)\cdot \mathbf{e}^i = (\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i) a_j =g^{ji}a_j\,\! ;

其中,g^{ji}=\mathbf{e}^j\cdot\mathbf{e}^i\,\!共軛度規張量

共變坐標的標號是下標,反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基,或反變基底向量組成的基底是標準正交基,則共變基底與反變基底相互等價。那麼,就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標,所有的標號都可以用下標來標記。

在相對論上的應用[编辑]

根據相對性原理,一條物理定律在不同的系統,都應該有相同的「形式」。

狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間,它是一種平直空間。