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共變和反變

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數學裏,反變(contravariant)和共變(covariant)描述一個向量(或更廣義來說,張量)的坐標,在向量空間基底/坐標系轉換之下,會如何改變。

反變和共變在張量場的演算中不可或缺,是了解狹義相對論廣義相對論必須的數學基礎。

轉換方式[编辑]

向量:反變轉換[编辑]

  • 標記法說明:向量 向量空間 的元素。向量基底 構成了向量空間的一個基底,其座標系統為。對應這個基底,向量的分量為,即

(註: 這符號中的上標不代表平方,而是代表第二個坐標,在較基礎的數學上,常寫作 ,但是,在张量分析领域,指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示,以及愛因斯坦求和約定。)

向量空間有另一個基底,其座標系統為。對應這個基底, 有分量 ,即

對於1...n之間任意整數 ,我們知道 的關係:

使用愛因斯坦求和約定可寫成:

餘向量:共變轉換[编辑]

假設對偶空間有兩個基底 [1]:289-297

假設。 則對於...之間其中一個特定的整數 ,我們知道 的關係:

或使用愛因斯坦求和約定寫成:

向量的共變分量和反變分量[编辑]

歐幾里得空間 裏,共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量;對於所有餘向量 ,通過下述方程式,向量 線性泛函 ,唯一地確定了餘向量

逆過來,通過上述方程式,線性泛函 和每一個餘向量,唯一地確定了向量 。由於這向量與餘向量的相互辨認,我們可以提到向量的共變分量和反變分量;也就是說,它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 的一個基底 ,則必存在一個唯一的對偶基底 ,滿足

其中,克羅內克函數

以這兩種基底,任意向量 可以寫為兩種形式

其中, 是向量 對於基底 的反變分量, 是向量 對於基底 的共變分量,

歐幾里得空間[编辑]

將向量 投影於坐標軸 ,可以求得其反變分量 ;將向量 投影於坐標曲面法線 ,可以求得其共變分量

歐幾里得空間3裏,使用內積運算,能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底,其基底向量為 ,就可以計算其對偶基底的基底向量:

其中, 是三個基底向量 所形成的平行六面體的體積。

反過來計算,

其中, 是三個基底向量 所形成的平行六面體的體積 。

雖然 並不相互標準正交,它們相互對偶:

這樣,任意向量 的反變坐標為

類似地,共變坐標為

這樣, 可以表達為

或者,

綜合上述關係式,

向量 的共變坐標為

其中,度規張量

向量 的反變坐標為

 ;

其中,共軛度規張量

共變坐標的標號是下標,反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基,或反變基底向量組成的基底是標準正交基,則共變基底與反變基底相互等價。那麼,就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標,所有的標號都可以用下標來標記。

在相對論上的應用[编辑]

根據相對性原理,一條物理定律在不同的系統,都應該有相同的「形式」。

狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間,它是一種平直空間。

  1. ^ Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 (English)