冯诺依曼稳定性分析

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数值分析中, 冯诺依曼稳定性分析 (亦作傅立叶稳定性分析) 用于验证计算线性偏微分方程时使用特定有限差分法数值稳定性[1],该分析方法基于对数值误差的傅立叶分解。1947年英国研究人员 John CrankPhyllis Nicolson 在文章中对该方法进行了简要介绍[2], 尔后又出现在冯诺依曼合作的文章中 [3]洛斯阿拉莫斯国家实验室对该方法进行了进一步发展。

数值稳定性[编辑]

数值稳定性与数值误差密切相关。使用有限差分方法进行计算时,若任意时间步的误差不会导致其后计算结果的发散,则可称该有限差分法是数值稳定的。如果误差随着进一步计算降低最终消失,该算法被认为稳定;若误差在进计算中保持为常量,则认为该算法“中性稳定”。但如果误差随着进一步计算增长,结果发散,则数值方法不稳定。数值方法的稳定性可以通过冯诺依曼稳定性分析得到验证。稳定性一般不易分析,特别是针对非线性偏微分方程。

冯诺依曼稳定性方法只适用于满足 Lax–Richtmyer 条件 (Lax 等价定理) 的某些特殊差分法: 偏微分方程系统须线性,常系数,满足周期性边界条件,只有两个独立变量,差分法中最多含两层时间步[4]。 由于相对简单,人们常使用冯诺依曼稳定性分析代替其他更为详细的稳定性分析,用以估计差分方法中对容许步长的限制。

方法描述[编辑]

冯诺依曼误差分析将误差分解为傅立叶级数。为了描述此过程,考虑一维热传导方程

空间网格间隔为 , 对网格作 FTCS (Forward-Time Central-Space,时间步前向欧拉法,空间步三点中心差分) 离散处理,

其中 为离散网格上的数值解,用于近似此偏微分方程的精确解

定义舍入误差 。 其中 是离散方程 (1) 式的精确解, 为包含有限浮点精度的数值解。 因为精确解 满足离散方程, 误差 亦满足离散方程 [5]

此式将确定误差的递推关系。方程 (1) 和 (2) 中,误差和数值解随时间具有一致的变化趋势。对于含周期性边界条件的线性微分方程,间隔 上的空间部分误差可展开为傅立叶级数

其中波数 。 通过假设误差幅度 是时间的函数,可以给出误差和时间的关系。 不难知单步中,误差随时间指数增长,因此 (3) 式可以写作

其中 为常量。

由于误差所满足的差分方程是线性的(级数每一项的行为与整个级数一致),只估计一项的误差变化便足以估计整体趋势:

为找出误差随时间步的变化, 将方程 (5) 式应用于离散后的误差表达式上

再代入到 (2) 式中,求解方程后可得

使用已知的指数三角关系式

可以将方程 (6) 变作

定义涨幅因子

则误差有限的充要条件为 。 已知

联立 (7) 和 (8) 两式,易得稳定性条件为

(10) 即为该算法的稳定性条件。 对于 FTCS 求解一维热传导方程,给定 , 所允许的 取值需要足够小以满足 (10) ,才能保证计算的数值稳定。

參考資料[编辑]

  1. ^ Analysis of Numerical Methods by E. Isaacson, H. B. Keller
  2. ^ Crank, J.; Nicolson, P., A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type, Proc. Camb. Phil. Soc., 1947, 43: 50–67, doi:10.1007/BF02127704  参数|id=值左起第48位存在delete character (帮助)
  3. ^ Charney, J. G.; Fjørtoft, R.; von Neumann, J., Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation, Tellus, 1950, 2: 237–254 
  4. ^ Smith, G. D., Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, 3rd ed.: 67–68, 1985 
  5. ^ Anderson, J. D., Jr. Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications. McGraw Hill. 1994.