凸集

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凸集
非凸集(凹集)

点集拓扑学欧几里得空间中,凸集(convex set)是一個點集合,其中每兩點之間的直线點都落在該點集合中。

凸集實例[编辑]

  • 區間實數的凸集。
  • 依據定義,中空的圓形稱為(circle),它不是凸集;實心的圓形稱為圆盘(disk),它是凸集。
  • 凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集,它們的每隻角都小於180度。
  • 单纯形是凸集,對於單純形的顶点集合來說,單純形是它們的最小凸集,所以單純形也是一個凸包
  • 定宽曲线是凸集。

凸集的延森不等式定義[编辑]

在度量幾何中,延森不等式為凸集給出一個最健全的解釋,而不必牽涉到二階導數

假設為在實或複向量空間的集。若對於所有和所有,有,則稱凸集

簡單而言,就是中的任何兩點之間的直線段都屬於。因此,凸集是一個連通空間

特殊凸集[编辑]

特殊凸集是特別給了名稱的凸集,它們可能是具有額外性質的凸集,或是在某種定義下的凸集(非一般定義中的凸集)。

具有額外性質的凸集[编辑]

  • 絕對凸集:若既是凸集又是平衡集,則稱絕對凸的。

在某種定義下的凸集[编辑]

  • 星形凸集:若集中存在一點,使得由中任何一點的直線段都屬於,則稱星形域星形凸集。星形域是簡單連通的。

性質[编辑]

是凸集,對於任意,及所有非負數滿足,都有 。這個向量稱為凸組合

非歐幾何的凸集[编辑]

對於非歐平面,可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。

參見[编辑]