分佈式參數系統

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分佈式參數系統distributed parameter system)不同於集總參數系統,是状态空间為無限維度系統。這類系統也稱為是無限維系統。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系統。以下段落所探討的會以線性非時變分佈式參數系統為主。

抽象发展方程[编辑]

離散時間[编辑]

假設UXY希尔伯特空间,而 ∈ L(X),  ∈ L(UX),  ∈ L(XY) 和 ∈ L(UY),以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統:

其中(狀態)是序列,其值在X內,(輸入或是控制)是序列,其值在U內,(輸出)為序列,其值在Y內。

連續時間[编辑]

連續時間的例子類似離散時間,但需要用微分方程表示,不是用差分方程表示:

,

接下來複雜的部份就是將實際的問題(例如偏微分方程或是时滞微分方程)加到上述的抽象发展方程中,作法是強制使用无界算子。一般會假定A狀態空間X裡的C0半群英语strongly continuous semigroup。假定BCD是有界算子,允許包括多待分析的實際的例子[1],不過有些實際的例子也會假定BC是無界的。

例子:偏微分方程[编辑]

的偏微分方程如下

符合上述的抽象发展方程。說明如下:輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合,狀態空間X選定是L2(0, 1),A算子定義為: 可以證明[2]A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, CD定義為

例子:时滞微分方程[编辑]

时滞微分方程

符合上述的抽象发展方程。說明如下:輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合,狀態空間X選定是L2(−τ, 0)複數的乘積,A算子定義為

可以證明[3]A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, CD定義為

傳遞函數[编辑]

分佈式參數系統的傳遞函數和有限維度下的情形相同,都是利用拉氏轉換(連續時間)或是Z轉換(離散時間)來定義。不過有限維度下的傳遞函數是真分式的有理函數,而無限維度的傳遞函數會是無理函數(不過仍然是全純函數)。

離散時間[编辑]

離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數,表示為以下的形式,函數在圓心為原點的圓盤內是全純的[4]。若1/z在A的resolvent set內(可能是另一個以圓心為原點,較小的圓盤),則傳遞函數為。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統,使該函數為離散系統的傳遞函數。

連結時間[编辑]

A可產生強連續半群,且BCD為有界算子[5],則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為,其中s的實部比A產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下,上述公式不一定有意義,不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效[6]

若要得到傳遞函數的簡單表示式,較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換,而不是用狀態空間中的參數來表示。

偏微分方程的傳遞函數[编辑]

令初始條件為0,將對t進行過拉氏轉換的函數用大寫表示,可以將偏微分方程轉換為以下的形式

這是非齊次線性微分方程,變數為s為參數,且初始條件為零。其解為。用此式來代入有Y 的方式中並且積分,可以得到,因此傳遞函數為

時滯微分方程的傳遞函數[编辑]

類似上述偏微分程的例子,時滯微分方程的傳遞函數為[7]

可控制性[编辑]

在有限維的系統中,可控制性的定義只有一種,但無限維的系統中,有幾種不相容的可控制性定義。以下是最重要的三種:

  • 精確可控制性(Exact controllability)
  • 近似可控制性(Approximate controllability)
  • 零可控制性(Null controllability)

離散時間下的可控制性[编辑]

在離散時間系統中,將所有U值序列的集合映射到X的映射相當的重要,其表示式為是初始條件為零時,給定輸入序列u下達到的狀態。The system is called

  • 系統在時間n內為精確可控制(exactly controllable)若的值域為X
  • 系統在時間n內為近似可控制(approximately controllable)若的值域是X內的稠密集。
  • 系統在時間n內為零可控制(null controllable)若的值包括An的值域。

連續時間下的可控制性[编辑]

在連續時間系統中,(表示為)有和離散時間系統的一樣重要的角色。不過,控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是L2(0, ∞;U),是在(0, ∞)區間內U值平方可積函數的(等效)空間,不過也有其他的定義,例如L1(0, ∞;U)。當的定義域選定之後,有以下幾種不同的可控制性[8]

  • 系統在時間t內為精確可控制(exactly controllable)若的值域為X
  • 系統在時間t內為近似可控制(approximately controllable)若的值域為X內的稠密集。
  • 系統在時間t內為零可控制(null controllable)若的值包括的值域。

可觀察性[编辑]

就如同有限維度下的情形一樣,無限維度的可觀察性也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義,最重要的三個如下:

  • 精確可觀察性(exactly observable),也稱為連續可觀察性(continuous observability)
  • 近似可觀察性(approximately observable)
  • 最終狀態可觀察性(final state observable)

離散時間下的可觀察性[编辑]

在離散時間系統的可觀察性中,(將X映射到所有Y值序列空間的映射,若k ≤ n,表示為,在k > n時,數值為0)。意思是是初始條件x,控制輸入為0時的truncated output。有以下幾種可觀察性

  • 在時間n有精確可觀察性(exactly observable),若存在 kn > 0 ,使得 ,在所有 x ∈ X 時都成立
  • 在時間n有近似可觀察性(approximately observable),若单射
  • 在時間n有最終狀態可觀察性(final state observable),若存在 kn > 0 使得,在所有 x ∈ X 時都成立

連續時間下的可觀察性[编辑]

在連續時間系統的可觀察性中,(表示為,其中s∈[0,t],若s>t時為零)的角色和在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是L2(0, ∞, Y),是(等效於)在定義域(0,∞)內的Y-值平方可積函數,不過也可以選擇其他的函數空間,例如L1(0, ∞, Y)。只要選擇了的輔域,就可以定義不同的可觀察性,有以下幾種可觀察性[9]

  • 在時間t有精確可觀察性(exactly observable),若存在kt > 0,使得,在所有 x ∈ X 時都成立
  • 在時間t有近似可觀察性(approximately observable),若单射
  • 在時間t有最終狀態可觀察性(final state observable),若存在 kt > 0 使得 ,在所有x ∈ X 時都成立

可控制性和可觀察性的對偶[编辑]

和有限維度下的情形類似,可控制性和可觀察性也是對偶的概念(若域以及輔域都選用一般的函數空間L2時),這些不同概念的對偶如下[10]

  • 精確可控制性 ↔ 精確可觀察性。
  • 近似可控制性 ↔ 近似可觀察性。
  • 零可控制性 ↔ 最終狀態可觀察性。

相關條目[编辑]

腳註[编辑]

  1. ^ Curtain and Zwart
  2. ^ Curtain and Zwart Example 2.2.4
  3. ^ Curtain and Zwart Theorem 2.4.6
  4. ^ This is the mathematical convention, engineers seem to prefer transfer functions to be holomorphic at infinity; this is achieved by replacing z by 1/z
  5. ^ Curtain and Zwart Lemma 4.3.6
  6. ^ Staffans Theorem 4.6.7
  7. ^ Curtain and Zwart Example 4.3.13
  8. ^ Tucsnak Definition 11.1.1
  9. ^ Tucsnak Definition 6.1.1
  10. ^ Tucsnak Theorem 11.2.1

參考資料[编辑]

  • Curtain, Ruth; Zwart, Hans, An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems theory, Springer, 1995 
  • Tucsnak, Marius; Weiss, George, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhauser, 2009 
  • Staffans, Olof, Well-posed linear systems, Cambridge University Press, 2005 
  • Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer, 1999 
  • Lasiecka, Irena; Triggiani, Roberto, Control Theory for Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 2000 
  • Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy, Representation and Control of Infinite Dimensional Systems second, Birkhauser, 2007