分划

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将全体有理数集合分拆为两个非空集合AA',若AA'满足条件:

  1. \forall a \in \mathbb{Q},关系式a \in Aa \in A'必有且只有一个成立。
  2. \forall a \in A\forall a' \in A',必有a < a'

则称这样的分拆为有理数的一个分划,记为A|A'。其中集合A称为分划的下组,集合A'称为分划的上组

分类[编辑]

根据分划中AA'是否有最大数、最小数,可以将分划分为三种类型:

  1. A中有最大数,A'中无最小数
  2. A中无最大数,A'中有最小数
  3. A中无最大数,A'中无最小数

可以证明,“A中有最大数,A'中有最小数」的情况并不存在。

第3种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种"空隙"(AA'之间的界数),这个"空隙"所对应的数既不属于A,也不属于A',因此它不是有理数,它所对应的数就是无理数,因此说第3种情况的分划定义了一个无理数

例子[编辑]

  1. 将所有小于或等于0的有理数划分为集合A,将所有余下的有理数(即大于0的有理数)划分为集合A',则A|A'是一个分划,并属于上述分类中的第1种情形。
  2. 将所有小于0的有理数划分为集合A,将所有余下的有理数(即大于或等于0的有理数)划分为集合A',则A|A'是一个分划,并属于上述分类中的第2种情形。
  3. 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数(即满足\forall a \in \mathbb{Q}, a \leq 0, a^{2} \leq 3的数)划分到集合A,将余下的有理数(即其平方大于3的正有理数)划分到集合A',则A|A'是一个分划,并属于上述分类中的第3种情形,此时分划A|A'定义了无理数\sqrt[]{3}

参阅[编辑]

参考文献[编辑]