分数微积分

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学上,分数微积分(fractional calculus)数学分析的一个分支,它研究微分算子和积分算子J实数次幂的可能应用(通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆)。

在这个上下文中,指反复应用,和

中的平方意义相同。例如,可以提出如何解释如下符号的问题

作为微分算子的平方根(半次操作),也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。

更一般的,

对于实数值的n,使得当n为整数时,若n>0,它等同于通常的幂n次操作,当n<0,它等同于n次积分J

讨论这个问题有几个原因。一个是,这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究,有一个有趣的理论。注意,分数是个错误的记号,因为指数可以取非有理数,但是分数微积分已成为习惯用法。

试探法[编辑]

一个很自然的想法是问,是否存在一个算子起到半导数的作用,即使得:

结论是:这样的算子是存在的,对于任意,存在一个算子,满足:

或者换一个说法, 的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.

在这里我们引入Γ函數将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函數的定义如下:

假设对函数 在0到x上求积分,我们可以形式的定义积分算子J:

重复这个过程,可得:

,

这个过程可以任意的重复下去。

利用重复积分的柯西公式,即:

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。

直接利用函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

这个算子定义明确而且具有良好的性质。

可以证明J算子满足如下关系

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难,而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。

分数微分在一个简单函数上的应用[编辑]

函数(蓝色线条)的半导数(紫色线条)以及一阶导数(红色线条)
這個動畫展示了不同分數微分算子如何操作在y=x(藍色),結果(綠色)在一般的積分(α=−1: y=x2/2,紫色)及一般的一次微分(α=+1: y=1,紅色)間連續變化。

假设有一个函数

。它的一阶导数一般是:
。重复这一过程,得到更一般的结果:
,将阶乘伽玛函数替换,可得:
。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数的半导数:
。重复这一过程,得:
,这正是期望的结果:

以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子,阶导数作用后,阶导数再作用,可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。

分数微分可以得到上述相同的结果(当)。

对于任意的,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义,需要在分数微分前先进行整数微分。例如

应用[编辑]

WKB近似

对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时,系统哈密顿量的倒数可由对态密度的半阶微分求出

这里采用了自然单位制,即[1]

相關條目[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Fractional Calculus. An Introduction for Physicists, by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore;(2014)ISBN 978-981-4551-09-0http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8934)

外部链接[编辑]