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分數傅立葉變換

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數學文獻中,分數傅立葉變換(Fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅立葉變換(Fourier Transform)的廣義化。近幾年來,分數傅立葉變換除了在信號處理領域有相當廣泛的應用,其也在數學上被單獨地研究,而定義出如分數迴旋積分(Fractional Convolution)、分數相關(Fractional Correlation)……等許多相關的數學運算。

分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 次,其中 不一定要為整數;而做了分數傅立葉變換之後,信號或輸入函數便會出現在介於時域頻域之間的分數域(Fractional Domain)。

若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換,則可推廣至線性標準變換英语linear canonical transform(Linear Canonical Transform)。

由來[编辑]

對信號 做一次傅立葉變換的結果為 ,做兩次傅立葉變換的結果為 ,表示成 ,而當做了 次的傅立葉變換可以寫成一般式 。至此,都以 為整數做考量,當令 時,將 分數傅立葉變換定義為 ,其中 可以不必為整數。

歷史[编辑]

分數傅立葉變換這個概念,其實最早在西元1929年,N.Wiener就已提出,但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年,V.Namias 在西元1980年重新提出(稱之為重發明)這個概念,但是一直到西元1994年,才有人真正把分數傅立葉變換用在信號處理上,此人為 L. B. Almeida。詳細歷史:1937年提出分數傅立葉變換的概念雛形; 1980年Namias較明確地提出分數傅立葉變換的數學表達式,並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解1987年Bride & Kerr 給出嚴格的數學定義以及性質1993年由德國的學者羅曼,土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程; Mendlovic&Ozaktas:漸變折射率GRIN介質中光傳播。 A. W. Lohmann: 維格納分佈函數和以及透鏡實現,自由空間的光衍射。 1993年Ozaktas,羅曼,Mendlovic等人在光學中全面引入分數傅立葉變換; 1995年Shih提出了另外一種分數傅立葉變換的形式; 1997年劉樹田等人根據Shih的定義給出了廣義分數傅立葉變換,1999年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於圖像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分數傅立葉變換及其在光學和信號處理中應用”一書。

定義[编辑]

第一種定義:

第二種定義:

, 為實數。

時 (亦即 ),分數傅立葉變換就成了傅立葉變換

表示法[编辑]

,則可推廣為;依此類推,表示次逆變換

分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的,且實數,表示為

是一個整數時則代表傅立葉轉換做次。

例如:

時相當於做一次傅立葉變換,如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上,則是對訊號順時針轉90度

時相當於做兩次傅立葉變換,如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上,則是對訊號順時針轉180度,

時相當於做兩次傅立葉變換,如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上,則是對訊號順時針轉270度

時相當於做兩次傅立葉變換,如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上,則是對訊號順時針轉360度,

性質[编辑]

對於任一實數,一個對函數做角度分數傅立葉變換定義為

並且具備以下特性

  • 加法性(Additivity)

  • 線性(Linearity)

  • 整數傅立葉性質(Integer Orders)

,其中為一整數則相當於做次傅立葉轉換;

時,這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義 ,

時,它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。

的整數倍,則餘切函數餘割函數不會收斂。

有一方法可解決此問題,就是取limit讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數被積分的情況,使得

  • 反轉性質(Inverse)

  • 交換性(Commutativity)

  • 結合律(Associativity)

  • 帕塞瓦爾定理(Parseval Theorem)

若從時頻分析圖上來看,代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆

定理[编辑]

的分數傅立葉轉換 ()的時頻分布,等同於 的時頻分布(維格納分布,加伯轉換)順時針旋轉角度 ,用數學式子表示如下:

維格納分佈(Wigner distribution function)[编辑]

假設

(a) 的維格納分布

(b) 的維格納分布

(c) 的分數傅立葉轉換

,則


加伯轉換(Gabor transform)[编辑]

假設

(a) 的加伯轉換

(b) 的加伯轉換

(c) 的分數傅立葉轉換

,則

例子一:

對一個加伯轉換後的餘弦函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖

Gabor frft.png

例子二:

對一個加伯轉換後的矩形函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖

Rec frft.png

應用[编辑]

可用分解信號和濾除雜訊;一般來說分為兩種,一種是在時域(Time domain)上,一種是在頻域(Frequency domain)上,

這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。

(一)時域[编辑]

假設現在是由兩個信號組成:

用數學表示分別如下:


由式子可以很明顯地看出,兩信號是方波。

若要將這兩個信號分開,是非常簡單的一件事情,因為這兩個信號在時域上毫無重疊,便可以直接在時域上將這兩個信號分開。

乘上 時,這個信號會被保留,這個信號就被濾掉了。

此作法可成功將這兩個信號分開。

限制[编辑]

此種方法的限制為欲分解的信號必須在时域不能重疊,否則無法成功分解。


(二)頻域[编辑]

可以很明顯地看出 在時域上完全重疊,因此很難在時域分解這兩個信號。

此時,可以妥善利用傅立葉轉換將信號轉到頻域,其在頻域的表示式如下所示:

可以很明顯地看出,若要將這兩個信號在頻域上分開,是非常簡單的一件事情,因為這兩個信號經過傅立葉轉換後,在頻域上完全沒有重疊。

例子[编辑]

假設 為一個低通濾波器(Low-pass Filter)

乘上 時, 會被保留, 就被濾掉了。

反之,若要保留 而濾掉 ,則可以使用高通濾波器(High-pass Filter)。

這種把欲處理信號先轉換到頻域,再做分解的動作,是濾波器設計的常見方法之一。

限制[编辑]

欲分解的信號必須在頻域不能重疊,否則無法成功分解。


(三)時頻域分解[编辑]

(Chirp noise, 線性調頻) + 三角波信號。

三角波信號(藍色)是我們要的信號,將前面的線性調頻(綠色)視為雜訊,由圖中可以發現到,

不論在時域或是頻域,皆無法直接將噪音項去除,這是因為和三角波信號在時域和頻域皆重疊(如下圖左上、右上)。

因此,對於兩個在時、頻域皆重疊的信號來說,很難在一維的時域和頻域中將其分解。

但若使用二維時頻分析,則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的信號分解。

這是因為兩個在時、頻域皆重疊的信號其時頻分布並不一定會重疊。因此,只要這兩個信號的時頻分布沒有互相重疊,就可以善用分數傅立葉變換將其成功分解(如下圖左下、右下)。

比較使用分數傅立葉變換與傅立葉變換濾掉雜訊的效果


例子一[编辑]

假設有噪音干擾,所以接收到的信號除了原始信號以外,還包含了雜訊。

用時頻分析方法來處理接收到的信號,黑色為原始信號(signal)的時頻分布,而綠色為噪音(noise)的時頻分布,如下圖。

收到信號的時頻分布

現在想把雜訊濾掉,以下探討3種方法來還原原始信號。

方法1 : 使用垂直的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用垂直的 Cutoff line ,就相當於在一維時域中,要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出,使用垂直的 Cutoff line 後,仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法1無法完美重建原始信號,而會有扭曲的情形發生。

垂直cutoff line


方法2 : 使用水平的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用水平的 Cutoff line ,就相當於在一維頻域中,要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出,使用水平的 Cutoff line 後,仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法2也無法完美重建原始信號,而會有扭曲的情形發生。

水平cutoff line


方法3 : 使用斜的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用斜的 Cutoff line ,則可以完美分離信號和噪音。如下圖。

Cutoff line 的參數包含了 是cutoff line和縱軸f-axis的夾角,而 則是cutoff line 距離原點的距離。

水平cutoff line


以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:

步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角

步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分布旋轉 ,使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。

步驟(3) 算出 後,再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。

步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 ,將時頻分布旋轉回原來的位置。


令接收到的信號為 ,最後得到的信號為 ,可將以上步驟用數學式子表示如下:

例子二:
假設發射一信號s(t),中間受到雜訊干擾,最後收到的訊號為f(t)=s(t)+noise
Frft0.png
(a) 發射訊號的時域圖
(b) 接收訊號的時域圖
(c) 發射訊號的韋格納分布
Frft1.png
(d) 接收訊號的韋格納分布,有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓,加上雜訊後的韋格納分布更是無法清楚地將訊號分離開來
(e) 發射訊號的加伯轉換
(f) 接收訊號的加伯轉換
Frft2.png
(g) 接收訊號的加伯-維格納轉換
(h) 濾波器的設計,這邊總共有四條cutoff lines,其中有兩條平行,所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換,再藉由cutoff lines來去除雜訊
(i) 濾波器的設計,這邊總共有四條cutoff lines,其中有兩條平行,所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換,再藉由cutoff lines來去除雜訊
Frft3.png
(j) 對(i)做分數傅立葉轉換
(k) 利用高通濾波器濾波,把兩條cutoff lines設置在低頻
(l) 經過(k)濾波器以後
(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器,把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號
(n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較,兩者的MSE僅有0.1128%

由以上可知,透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器,我們可以精準地還原訊號

例子三:

一樣假設接收訊號受到了雜訊干擾

Frft4.png

(a) 發射訊號

(b) 接收訊號

(c) 接收訊號的韋格納分

(d) 接收訊號的加伯轉換

(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換,在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線),但有兩條是垂直時間軸,可以直接在時間軸上去除,剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。

(f) 還原訊號,MSE僅0.3013%

比較傅立葉轉換和分數傅立葉轉換[编辑]

傅立葉轉換

優點: 運算複雜度較低,有快速傅立葉轉換的演算法。

缺點: 僅有一個維度,頻域,來分析;雜訊若和訊號重疊,則難以分離。

分數傅立葉轉換

優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊,多了一個維度,時域,來分析;除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊,否則將可以分離兩訊號。

缺點: 運算複雜度較高。

相關條目[编辑]

其他的時間-頻率變換:

外部連結[编辑]

參考文獻[编辑]

  • N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929).
  • V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
  • Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
  • Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
  • D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
  • Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
  • Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013