分母有理化

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分母有理化,简称有理化,指的是将该原为无理数的分母化为有理数的过程,也就是将分母中的根号化去。

有理化后通常方便运算,有理化的过程可能會影響分子,但分子及分母的比例不變。

单项式[编辑]

应用一般根号运算:

\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}

\frac{1}{\sqrt[n]{a}}=\frac{ \sqrt[n]{ a^{n-1} } }{a}

二项式[编辑]

应用平方差公式:

\frac{1}{\sqrt{a}+b}=\frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}

\frac{1}{\sqrt{a}-b}=\frac{\sqrt{a}+b}{a-b^2}

应用立方和立方差公式:

\frac{1}{\sqrt[3]{a}+b}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}b+b^2}{a+b^3}

\frac{1}{\sqrt[3]{a}-b}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}b+b^2}{a-b^3}

多项式[编辑]

逐项有理化[编辑]

\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-c}{a-b-c^2-2c^2 \sqrt{b}}[1]

辗转相除法[编辑]

x=\sqrt[3]{2}有理化\frac{1}{1+2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}}

(x^3-2)u(x)+(1+2x+3x^2)v(x)=1

u(x)=\frac{-1}{89}(50+3x),v(x)=\frac{1}{89}(-11+16x+x^2)

\frac{1}{1+2\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}}=v(\sqrt[3]{2})=\frac{1}{89}(-11+16\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})[2]

待定系数法[编辑]

x^3=2x^2+3x+4,求\frac{1}{ 3 + 2x + x^2 }

(3+2x+x^2)(a+bx+cx^2)=1


\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3 & x^4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\2 & 3 & 0\\1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}1 & x & x^2 & x^3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\2 & 3 & 4\\1 & 2 & 6\\0 & 1 & 4\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}1 & x & x^2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3 & 4 & 16\\2 & 6 & 16\\1 & 4 & 14\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}1 & x & x^2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}


\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=
   
\begin{pmatrix}3 & 4 & 16\\2 & 6 & 16\\1 & 4 & 14\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
   
=\frac{1}{22} \begin{pmatrix}10\\-6\\1\end{pmatrix}

\frac{1}{ x^2 + 2x + 3 }=\frac{ x^2 - 6x +10 }{22}[2]

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 分母有理化与分子有理化. 
  2. ^ 2.0 2.1 韩士安 林磊. 近世代数(第二版).