分母有理化

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

分母有理化,简称有理化,指的是将该原为无理数的分母化为有理数的过程,也就是将分母中的根号化去。

有理化后通常方便运算,过程与分子无关。

单项式[编辑]

应用一般根号运算:

\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}

\frac{1}{\sqrt[n]{a}}=\frac{ \sqrt[n]{ a^{n-1} } }{a}

二项式[编辑]

应用平方差公式:

\frac{1}{\sqrt{a}+b}=\frac{\sqrt{a}-b}{a-b^2}

\frac{1}{\sqrt{a}-b}=\frac{\sqrt{a}+b}{a-b^2}

应用立方和立方差公式:

\frac{1}{\sqrt[3]{a}+b}=\frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}b+b^2}{a-b^3}

\frac{1}{\sqrt[3]{a}-b}=\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}b+b^2}{a-b^3}

多项式[编辑]

应用二项式的分母有理化逐项有理化:[1]

\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-c}{a-b-c^2-2c^2 \sqrt{b}}

应用多项式相乘的矩阵形式:

x^3=2x^2+3x+4,求\frac{1}{ x^2 + 2x + 3 }


   
\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\2 & 3 & 0\\1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\2 & 3 & 4\\1 & 2 & 6\\0 & 1 & 4\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}3 & 4 & 16\\2 & 6 & 16\\1 & 4 & 14\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}


   
\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=
   
\begin{pmatrix}3 & 4 & 16\\2 & 6 & 16\\1 & 4 & 14\end{pmatrix}^{-1}
   
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
   
=\frac{1}{22} \begin{pmatrix}10\\-6\\1\end{pmatrix}

\frac{1}{ x^2 + 2x + 3 }=\frac{ x^2 - 6x +10 }{22}

参考资料[编辑]