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分裂域

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抽象代数中,一个系数多项式 分裂域根域)是 的“最小”的一个扩域 ,使得在其中 可以被分解为一次因式 的乘积,其中的 中元素。一个 上的多项式并不一定只有一个分裂域,但它所有的分裂域都是同构的:在同构意义上, 上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义[编辑]

称一个系数 的多项式 的某个扩域 分裂当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解(分裂)成最简单的一次因式的乘积:

其中的 。换句话来说,都在 中。

使得 在其中分裂的扩域 有很多,譬如对于某个使得分裂的的 ,它任意的扩域 也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域,是指这样的一个扩域

  1. 里,, 可以分解为一次因式的乘积;
  2. 的任何真子域(不等于自身)里,都无法如此分解。

这样的扩域称为 上的分裂域

例子[编辑]

如果 有理数域 ,多项式为

那么其分裂域 可以是在 中添加三次单位根 和2的立方根而得到的扩域:。因为这时 可以写作:

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:

  • 多项式 实数域 R 上的分裂域是复数域 C
  • 多项式 准有限域 GF7 上的分裂域是 GF72.

多项式 准有限域 GF7 上的分裂域是 GF7,因为在其上 已经分解完毕。

性质[编辑]

给定多项式 , 在 上的分裂域 ,假设在 , 分解为

那么

对于域 的一个代数闭域扩域 上的一个多项式,存在 上的唯一的一个分裂域 ,使得

对于 的一个可分扩张 伽罗瓦闭包是一个分裂域,也是 的包含 的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了 中任意元素 ,在 上的极小多项式 上的分裂域。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  • Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]
  • David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部链接[编辑]