分裂域

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抽象代数中,一个系数\mathbb{K}多项式 P(x)\,分裂域根域)是 \mathbb{K} 的“最小”的一个扩域 \mathbb{L} ,使得在其中 P\,可以被分解为一次因式 x-r_i\, 的乘积,其中的 r_i\,\mathbb{L} 中元素。一个 \mathbb{K} 上的多项式并不一定只有一个分裂域,但它所有的分裂域都是同构的:在同构意义上,\mathbb{K} 上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义[编辑]

称一个系数\mathbb{K} 的多项式 P(x)\,\mathbb{K} 的某个扩域 \mathbb{L}分裂当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解(分裂)成最简单的一次因式的乘积:

P = \sum_{i=0}^k a_i x^i = \prod_{i=1}^k (x- r_i)

其中的 a_i \in \mathbb{K}r_i \in \mathbb{L}。换句话来说,P\,都在 \mathbb{L} 中。

使得 P\, 在其中分裂的扩域 \mathbb{L} 有很多,譬如对于某个使得P\,分裂的的 \mathbb{L},它任意的扩域 \mathbb{L}' 也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域,是指这样的一个扩域 \mathbb{E}

  1. \mathbb{E} 里,P\,, 可以分解为一次因式的乘积;
  2. \mathbb{E} 的任何真子域(不等于自身)里,P\,都无法如此分解。

这样的扩域称为 P\,\mathbb{K} 上的分裂域

例子[编辑]

如果 \mathbb{K}有理数域 \mathbb{Q},多项式为

P(x)=x^3-2\,

那么其分裂域 \mathbb{L} 可以是在 \mathbb{Q} 中添加三次单位根  \omega\, 和2的立方根而得到的扩域:\mathbb{Q}(\omega , \sqrt[3]{2} )。因为这时 P\, 可以写作:

P = (x-\sqrt[3]{2})(x-\omega \sqrt[3]{2})(x-\omega^2 \sqrt[3]{2})

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:

多项式 x^2-1\,准有限域 GF7 上的分裂域是 GF7,因为在其上 x^2-1=(x+1)(x-1)\, 已经分解完毕。

性质[编辑]

给定多项式 P(x)\,, 在 \mathbb{K} 上的分裂域 \mathbb{E},假设在 \mathbb{E}P\,, 分解为

P = \prod_{i=1}^k (x - r_i)

那么 \mathbb{E} = \mathbb{K}(r_1, r_2, \cdots , r_k)

对于域 \mathbb{K} 的一个代数闭域扩域 \mathbb{A}\mathbb{K} 上的一个多项式P\,,存在 P\,\mathbb{K} 上的唯一的一个分裂域 \mathbb{L},使得 \mathbb{K} \subset \mathbb{L} \subset \mathbb{A}

对于 \mathbb{K} 的一个可分扩张 \mathbb{K}'\mathbb{K}'伽罗瓦闭包是一个分裂域,也是 \mathbb{K} 的包含 \mathbb{K}' 的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了 \mathbb{K}' 中任意元素 a\,,在 \mathbb{K} 上的极小多项式\mathbb{K} 上的分裂域。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  • Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]
  • David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部链接[编辑]