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分離變數法

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數學上,分離變數法是一種解析常微分方程偏微分方程的方法。使用這方法,可以藉代數來將方程式重新編排,讓方程式的一部分只含有一個變數,而剩餘部分則跟此變數無關。這樣,隔離出的兩個部分的值,都分別等於常數,而兩個部分的值的代數和等於零。

常微分方程

假若,一個常微分方程可以寫為

設定變數 。那麼,

(1)

只要是 ,就可以將方程式兩邊都除以 ,再都乘以

這樣,可以將兩個變數 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關,表達式恆等於常數 。因此,可以得到兩個較易解的常微分方程;

第二種方法

有些不喜歡用萊布尼茨標記 (Leibniz's notation) 的數學家,或許會選擇將公式 (1) 寫為

這寫法有一個問題:無法比較明顯的解釋,為什麼這方法叫作分離變數法?

隨著 積分公式的兩邊,可以得到

(2)

應用換元積分法

假如,可以求算這兩個積分,則這常微分方程有解。這方法允許將導數 當做可分的分式看待,可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋,

實例 (I)

常微分方程式 可以寫為

(3)

其中,

設定 。套用公式 (1) ,這常微分方程式是可分的。

進一步編排,則

變數 分別在公式的兩邊。將兩邊積分,

積分的結果是

其中, 是個積分常數。稍加運算,則可得

在這裏,檢查此解答的正確與否。計算導數 。答案應該與原本的問題相同。(必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值,分別地造成了 的正值與負值。而當 時, )。

特別注意,由於將公式 (3) 的兩邊除以 ,必須檢查兩個函數 是否也是常微分方程式的解答(在這個例子裏,它們都是解答)。參閱奇異解 (singular solution) 。

實例 (II)

人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達

其中, 是人口數值函數, 是時間參數, 是成長的速率, 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以 .再隨著時間 積分,

應用換元積分法

稍微運算,則可得

其中, 是常數。

偏微分方程

給予一個 元函數 偏微分方程,有時候,為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程,可以猜想一個解答;解答的形式為

或者

時常,對於每一個自變量 ,都會伴隨著一個分離常數。如果,這個方法成功,則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

實例 (III)

假若,函數 的偏微分方程為

猜想解答為

那麼,

因為 只含有 只含有 只含有 ,這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說,將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程:

其中, 都是常數,

偏微分方程的答案為

其中, 是常數。

實例 (IV)

思考一個典型的偏微分方程,

首先,猜想答案的形式為

代入偏微分方程,

或者,用單撇號標記,

將方程式的兩邊除以 ,則可得

由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關,表達式恆等於常數

因此,可以得到兩個新的常微分方程式:

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若, ,則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

其中, 是振幅常數, 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

參閱

參考文獻

  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9