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分離變數法

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數學上,分離變數法是一種解析常微分方程偏微分方程的方法。使用這方法,可以藉代數來將方程式重新編排,讓方程式的一部分只含有一個變數,而剩餘部分則跟此變數無關。這樣,隔離出的兩個部分的值,都分別等於常數,而兩個部分的值的代數和等於零。

常微分方程[编辑]

假若,一個常微分方程可以寫為

設定變數 。那麼,

(1)

只要是 ,就可以將方程式兩邊都除以 ,再都乘以

這樣,可以將兩個變數 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關,表達式恆等於常數 。因此,可以得到兩個較易解的常微分方程;

第二種方法[编辑]

有些不喜歡用萊布尼茨標記 (Leibniz's notation) 的數學家,或許會選擇將公式 (1) 寫為

這寫法有一個問題:無法比較明顯的解釋,為什麼這方法叫作分離變數法?

隨著 積分公式的兩邊,可以得到

(2)

應用換元積分法

假如,可以求算這兩個積分,則這常微分方程有解。這方法允許將導數 當做可分的分式看待,可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋,

實例 (I)[编辑]

常微分方程式 可以寫為

(3)

其中,

設定 。套用公式 (1) ,這常微分方程式是可分的。

進一步編排,則

變數 分別在公式的兩邊。將兩邊積分,

積分的結果是

其中, 是個積分常數。稍加運算,則可得

在這裏,檢查此解答的正確與否。計算導數 。答案應該與原本的問題相同。(必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值,分別地造成了 的正值與負值。而當 時, )。

特別注意,由於將公式 (3) 的兩邊除以 ,必須檢查兩個函數 是否也是常微分方程式的解答(在這個例子裏,它們都是解答)。參閱奇異解 (singular solution) 。

實例 (II)[编辑]

人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達

其中, 是人口數值函數, 是時間參數, 是成長的速率, 環境的容納能力。

將方程式的兩邊都除以 .再隨著時間 積分,

應用換元積分法

稍微運算,則可得

其中, 是常數。

偏微分方程[编辑]

給予一個 元函數 偏微分方程,有時候,為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程,可以猜想一個解答;解答的形式為

或者

時常,對於每一個自變量 ,都會伴隨著一個分離常數。如果,這個方法成功,則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

實例 (III)[编辑]

假若,函數 的偏微分方程為

猜想解答為

那麼,

因為 只含有 只含有 只含有 ,這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說,將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程:

其中, 都是常數,

偏微分方程的答案為

其中, 是常數。

實例 (IV)[编辑]

思考一個典型的偏微分方程,

首先,猜想答案的形式為

代入偏微分方程,

或者,用單撇號標記,

將方程式的兩邊除以 ,則可得

由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關,表達式恆等於常數

因此,可以得到兩個新的常微分方程式:

這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若, ,則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為

其中, 是振幅常數, 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9