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列維-奇維塔符號

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列維-奇維塔符號(Levi-Civita symbol)在張量分析很常用。其以20世紀初數學家列維-奇維塔命名。

三維[编辑]

立體化表示
 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 \\
-1 \\
0 
\end{cases} 若 (i, j, k) = {1,2,3}, {2,3,1} 或 {3,1,2} (偶置換
若 (i, j, k) = {3,2,1}, {2,1,3} 或 {1,3,2} (奇置換)
i=j, j=ki=k

例子[编辑]

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}

行列式

\det(A) = \sum_{i,j,k = 1}^{3} \varepsilon_{ijk} A_{1i} A_{2j} A_{3k}
\mathbf{c} = \mathbf{a \times b},各分量c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k

推廣[编辑]

 \varepsilon_{ij...} = 
\begin{cases}
+1 \\
-1 \\
0 
\end{cases} 若 (i, j , ... )是{1,2,...}的偶置換
若 (i, j, ...)是{1,2,...}的奇置換
若任意兩個指標相等

兩個列維-奇維塔符號的積可以用一個以廣義克羅內克函數表示的矩陣的行列式求得:

 \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{mnl\dots} = \det \begin{vmatrix}
\delta_{im} & \delta_{in} & \delta_{il} & \dots \\
\delta_{jm} & \delta_{jn} & \delta_{jl} & \dots \\
\delta_{km} & \delta_{kn} & \delta_{kl} & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\end{vmatrix}