刘维尔定理 (复分析)

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刘维尔定理数学复分析的一个定理,由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数(即在整个复数上都是全纯函数)的值域进行了刻画。它表明,任何有界整函数都一定是常数。

比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明,只要一个整函数的值域中不包含两个相异的复数,则这个整函数是常数函数。

简介[编辑]

整函数是指从复数域射到复数域,并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微,是复函数的重要性质。某个函数]在某点全纯,指在点以及其邻域上有定义,并且以下极限

存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微,而且可以证明,全纯函数必然无穷可微,是解析函数

刘维尔定理说明,任何一个整函数,如果存在一个正数,使得对于所有的复数模长都小于等于

则该函数必定是常数函数。

证明[编辑]

证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数,设有整函数,考虑它关于解析展开

其中的系数可以根据柯西积分公式求得:

其中是以0为圆心半径。依照函数有界的条件,可以估计系数模长的上界:

在以上的估计中,积分路径,其中半径的选择是任意的。当趋于无穷大时,趋于0. 因此,让趋于无穷大,便可以推出:对所有的k ≥ 1,都有ak = 0。这说明,

即是说是常数函数。定理得证。

应用与推论[编辑]

代数基本定理[编辑]

代数基本定理的证明中有一个较为简明的基于刘维尔定理的证明。

整函数的大小关系[编辑]

应用刘维尔定理可以证明,如果一个整函数总比另一个整函数小:,那么这两个整函数成比例关系:,其中是比例常数。

考虑函数

说明,函数的模长总小于等于1。另一方面,由于,所以奇点都是可去奇点,可以依照上面的方式拓延为整函数。所以作为一个有界的整函数,根据刘维尔定理,必然是常数函数。这说明成比例关系。

次线性整函数[编辑]

次线性函数,指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数满足:

其中是一个常数系数。考虑导函数。根据柯西积分公式

其中是以为圆心,半径为的圆;

,则 所以,因此

因此依据刘维尔定理,是常数函数。另一方面,,所以 综上可知,次线性整函数是线性函数。

参考文献[编辑]

  • Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
  • Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部链接[编辑]