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判别式

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一元二次多项式的判别式 与其函数图像之间的关系

判別式代数学中的概念。一个系数系数多项式判别式是一个与之相关的表达式。判别式等于零当且仅当多项式有重根

当多项式的系数不是实数或复数时,同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时,判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为:

其中的是多项式的最高次项系数,是多项式在某个分裂域中的根(如有重根的按重数重复排列)。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构,比如说圆锥曲线二次型代数数域中。在代数数论中,判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上,愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型,因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

定义[编辑]

二次方程的判别式[编辑]

最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程,其中系数实数,则它的判别式定义为:

判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为,那么根据二次方程的求根公式,两个根可以表示为:

方程的根与判别式的关系为:

两个根都是实数,当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时,判别式等于零。如果判别式小于零,则两根是共轭复数

三次方程的判别式[编辑]

  • 三次多项式的判别式是

四次方程的判别式[编辑]

  • 四次多项式的判别式是:


  • 二次项系数为零的首一三次多项式的判别式是:

二次判别式[编辑]

二次多项式的判别式是。在一元二次方程的求解中,判别式用来判断方程根的情况,并出现在根的表达式中。

  • 如果,那么有两个相异实根,即的图像穿过轴两次。
  • 如果,那么有两个相等实根的图像与相切
  • 如果,那么没有实根,即的图像与轴没有交点。

一般多项式的判别式[编辑]

对于一般的一个多项式

其判别式等于(差一个系数)以下的矩阵行列式(见西尔维斯特矩阵):

这个矩阵的行列式称为结式,记为的判别式由以下公式给出:

.

例如,在的情况下,以上的行列式是:

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以

作为等价条件,多项式的判别式等于:

其中是多项式根(重根按重数计算):

在这个表达式中可以清楚地看到有重根当且仅当判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的中定义,定义方式一样。带有根的表达式仍然有效,只是根要在系数域的某个分裂域中取。

圆锥曲线的判别式[编辑]

对于以下多项式所定义的圆锥曲线

它的判别式为:

它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0,则是椭圆。如果判别式等于0,则是一条抛物线。如果大于0,则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形(当这个多项式可以因式分解时)。

二次型的判别式[编辑]

判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和:

其中Lin个变量的线性组合。这时可以定义Q的判别式为所有ai的乘积。另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式

代数数域的判别式[编辑]

参见[编辑]

参考资料与外部链接[编辑]