前推 (微分)

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假设 φ : MN 是光滑流形之间的光滑映射;则 φ 在一点 x 处的微分在某种意义上是 φx 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说,它是从 Mx 处的切空间Nφ(x) 处的切空间的一个线性映射,从而可以将 M 的切向量“前推”成 N 的切向量。

映射 φ 的微分也被一些的作者称为 φ导数全导数,有时它自己也之称为前推pushforward)。

动机[编辑]

φ:UV 是从 Rm 的一个开集 URn 的开集 V 的一个光滑映射。对任何 U 中的给定点 xφx雅可比矩阵(关于标准坐标)是 φx全微分矩阵表示,这是一个从 RmRn 的线性映射:

\mathrm d \varphi_x:\mathbb R^m\to\mathbb R^n\ .

我们希望将其推广到 φ 是“任何”两个光滑流形 MN 之间的光滑映射。

光滑映射的微分[编辑]

φ : MN 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 xMφx微分(全)导数是从 Mx切空间Nφ(x) 的切空间一个线性映射

\mathrm d \varphi_x:T_xM\to T_{\varphi(x)}N\ ,

映射 dφx 运用到切向量 X 上有时称为 Xφ前推。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量(不同的定义可参见切空间)。

如果我们定义切向量为通过 x 的曲线等价类,那么微分由

\mathrm d \varphi_x(\gamma'(0)) = (\varphi \circ \gamma)'(0)

给出,这里 γM 上满足 γ(0) = x 的一条曲线。换句话说,一条曲线 γ 在 0 处切向量的前推恰好是 φ\circγ 在 0 处的切向量。

另一种方式,如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的导子,那么微分由

\mathrm d\varphi_x(X)(f) = X(f \circ \varphi)

给出,这里 XTxM,从而 X 是定义在 M 上的一个导子而 fN 上一个光滑实值函数。根据定义,在给定 MxX 的前推在 Tφ(x)N 中,从而定义了一个N上的导子。

取定 xφ(x) 附近的坐标卡以后,F 局部由 RmRn 之间的光滑映射

{\hat \varphi} : U \rightarrow V

确定。而 dφx 具有表示(在 x 附近):

\mathrm d \varphi_x\Bigl(\frac{ \partial }{\partial u^a}\Bigr)  = \frac{\partial {\hat \varphi}^b}{\partial u^a} \frac{ \partial }{\partial v^b},

这里使用了爱因斯坦求和约定,偏导数对 x 坐标卡相应的 U 中的点取值。

线性扩张得到如下矩阵

(\mathrm d\varphi_x)_a^{\;b}= \frac{\partial {\hat\varphi}^b}{\partial u^a}.

从而光滑映射 φ 在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下,它表示为相应的从 RmRn 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形,微分不要求可逆。如果 φ 是一个局部微分同胚,那么在 x 点的前推是可逆的,其逆给出 Tφ(x)N拉回

另外,局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构

微分经常有其他一些记法,比如

D\varphi_x,\; (\varphi_*)_x, \;\varphi'(x)\ .

从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合(即,具有函子性质),这便是光滑函数微分的链式法则

切丛上的微分[编辑]

光滑映射 φ 的微分以显而易见的方式诱导了从 M切丛N 的切丛的一个丛映射(事实上是向量丛同态),记为 dφφ*,满足如下的交换图表

SmoothPushforward-01.png

这里 πMπN 分别表示 MN 切丛的丛投影。

等价地(参见丛映射),φ* = dφ 是从 TMM 上的拉回丛 φ*TN 的丛映射,这可以看成 M向量丛 Hom(TM,φ*TN) 的一个截面

向量场的前推[编辑]

给定了一个光滑映射 φ:MNM 上一个向量场 X,一般不能定义 X 通过 φ 的前推为 N 的一个向量场。譬如,如果映射 φ 不是满射,则在 φ 的像外部没有自然的方式定义拉回;如果 φ 不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何,可以用“沿着映射的向量场”概念将难处变精确。

Mφ*TN 的一个截面称为沿着 φ 的向量场。例如,如果 MN 的一个子丛而 φ 是包含映射,那么沿着 φ 的向量场恰好是 N 沿着 M 的切丛的一个截面;特别的,M 上的向量通过 TM 包含到 TN 中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。

假设 XM 上一个向量场,即 TM 的一个截面。那么,运用逐点微分得出 X 的前推 φ*X,这是一个沿着 φ 的向量场,即 Mφ*TN 的一个截面。

任何 N 上的向量场 Y 定义了 φ*TN 的一个拉回截面 φ*Y 使得 (φ*Y)x = Yφ(x)M 上一个向量场 XN 上一个向量场 Y 称为 φ-相关的,如果作为沿着 φ 的向量场有 φ*X = φ*Y。换句话说,对任何 x 属于 M,有 dφx(X)=Yφ(x)

在某些情形,给定 M 上一个向量场 XN 上只有惟一的向量场 YX φ-相关。特别地,这在 φ微分同胚时自然成立。在这种情况下,前推定义了 N 上一个向量场 Y,由

Y_x=\varphi_*(X_{\varphi^{-1}(x)}).

给出。一个更一般的情形是 φ 为满射(比如纤维丛的丛投影)。这时 M 上的向量场 X 称为可投影的,如果对任何 y 属于 N, dφx(Xx) 与 x 属于 φ-1({y}) 的取法无关。这恰好是保证 X 的前推可以作为 N 上的一个良定的向量场的条件。

另见[编辑]

参考文献[编辑]

  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
  • Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.