加托導數

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数学上,加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒內·加托命名,他是一位法国数学家,年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸拓扑向量空间上,可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念,常见于變分法物理学,特别是量子场论。和其他形式的导数不同,加托导数是非线性的。

定义[编辑]

假设 局部凸拓扑向量空间,(例如巴拿赫空间), 是開集合(open set),且 在點 沿着 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) 定义为

如果极限存在。固定 对于所有 都存在,则称 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 是加托可微,稱 為在 的加托導數。

是在 连续可微的

连续的。

属性[编辑]

若加托导数存在,则其为唯一。

对于每个,加托导数是一个算子。 该算子是齐次的,使得

,但是它通常不是可加的,并且,因此而不总是线性的,不像Fréchet导数

例子[编辑]

为一个在欧几里得空间 勒贝格可测集 上的平方可积函数希尔伯特空间,也就是說 是勒貝格可測集 。泛函

给出,其中 是一个定義在實數上的可微值函数且 為定義在 的實數值函數,则加托导数为

這符號代表 .

更詳細的說:

(并假设所有积分有定义),得到加托导数

也就是,内积

参看[编辑]

参考[编辑]