勒貝格微分定理

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數學上,勒貝格微分定理實分析的一條定理。這條定理大致是說,一個局部可積函數在幾乎每點的值,都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之,該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點

定理敘述[编辑]

為局部可積函數,m勒貝格測度。那麼幾乎處處x都符合

證明[编辑]

因為這定理是關於函數的局部性質,不失一般性,可假設函數f定義在有界集合中,故f為可積函數。

定義

那麼這定理就是對幾乎處處的xTf = 0。只需證對任何y > 0,集合{Tf > y}的測度為零。

連續函數,這定理顯然成立。連續函數在稠密,故此對任意正整數n,有連續函數g使得

。由於g連續,有Tg = 0。

三角不等式

。(Mhh哈代-李特爾伍德極大函數。)從上式得

因為,所以有

Tf > y,則有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此

哈代-李特爾伍德極大不等式

由積分的基本性質有

故得

因此

因為上式對所有正整數n成立,從而知m{Tf > y}=0。定理得證。

參考[编辑]

  • Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.