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勞侖茲因子

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洛伦兹因子是一个出現在狹義相對論中的速記因子,得名於荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹,被用于计算時間膨脹长度收缩相对论质量等相對論效應。

定義[编辑]

勞侖茲因子定義為:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2} } = \frac{dt}{d\tau}

其中

一些作者另外定義了勞侖茲因子的倒數[1]

\alpha = \frac{1}{\gamma} = \sqrt{1- v^2/c^2} \ ,

可用於速度相加英语Velocity-addition formula推導。

例子[编辑]

相對論性條件(近光速)下,物體的總能量E動量p可以通過勞侖茲因子\gamma簡單寫為:

E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } }
\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} = \frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } }

其中m靜質量

四维向量描述下,能-動向量則成為:

\mathbf{p}^{(4)} = ({E \over c}, \mathbf{p}) = (\gamma m c, \gamma m \mathbf{v})= m ( \gamma c, \gamma \mathbf{v}) = m \mathbf{v}^{(4)}

牛頓力學的三維動量\mathbf{p}= m \mathbf{v}定義相似。

數值[编辑]

洛伦兹因子与速度的关系。速度为零时洛伦兹因子为1,速度v\to c时洛伦兹因子趋于无穷大。

下表中,最左欄為以c為單位的速率;中間欄顯示相應的勞侖茲因子;最右欄為勞侖茲因子的倒數。以粗體字顯示者為精確值。

速率(c為單位) 勞侖茲因子 倒數
\beta = v/c \,\! \gamma \,\! \alpha \equiv 1/\gamma \,\!
0.000 1.000 1.000
0.050 1.001 0.999
0.100 1.005 0.995
0.150 1.011 0.989
0.200 1.021 0.980
0.250 1.033 0.968
0.300 1.048 0.954
0.400 1.091 0.917
0.500 1.155 0.866
0.600 1.250 0.800
0.700 1.400 0.714
0.750 1.512 0.661
0.800 1.667 0.600
0.866 2.000 0.500
0.900 2.294 0.436
0.990 7.089 0.141
0.999 22.366 0.045

非相對論性條件[编辑]

當速度遠小於光速(非相對論性條件下),即v \ll c,則\beta趨近於0,而\gamma趨近於1,回到傳統的牛頓力學描述。

參考資料[编辑]

  1. ^ Yaakov Friedman, Physical Applications of Homogeneous Balls, Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, pages 1-21.