化圓為方

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尺规作图三大难题
三等分角
化圆为方
倍立方
化圓為方:求一正方形,其面積和一已知圓的面積相同。

化圓為方古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題,和三等分角倍立方問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為:求一正方形,其面積等於一給定的面積。如果尺规能够化圆为方,那么必然能够从单位长度出发,用尺规作出长度为\pi的线段。

进入十九世纪后,随着群论和域论的发展,数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件,满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年,数学家林德曼證明了\pi超越數,因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。

如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具,化圆为方的問題是可行的。如借助西皮阿斯割圓曲線英语quadratrix阿基米德螺線等。

背景简介[编辑]

尺规作图法[编辑]

在叙述化圆为方问题前,首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题,将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定,研究的是能不能在若干个具体限制之下,在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中,直尺和圆规的定义是[1]

直尺:一侧为无穷长的直线,没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规:由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下,将两个端点同时移动,或者只固定其中一个端点,让另一个端点移动,作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离,或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性後,所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤,称为作图公法[1]

  • 通過兩個已知點,作一直線。
  • 已知圓心和半徑,作一個圓。
  • 若兩已知直線相交,确定其交點。
  • 若已知直線和一已知圓相交,确定其交點。
  • 若兩已知圓相交,确定其交點。

尺规作图研究的,就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复,达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是:“给定某某条件,能否用尺规作出某某对象?”比如:“给定一个圆,能否用尺规作出这个圆的圆心?”,等等。[1]

问题叙述[编辑]

化圓為方问题的完整叙述是:

给定一个圆,是否能够通过以上说明的五种基本步骤,于有限次内作出一个正方形,使得它的面积等于圆的面积

如果将圆的半径定为单位长度,则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度\sqrt{\pi}倍的线段。[2]

不可能性的證明[编辑]

圆周率的超越性[编辑]

化圆为方问题是指已知单位长度1,要作出\sqrt{\pi}的长度。这等价于从1开始作出\pi。然而,能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说,存在有理系数的多项式m,使得

m(z) = 0.

然而,1882年,林德曼等人证明了对于圆周率\pi来说,这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数,而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数,而\pi不是,这说明用尺规作图是无法化圆为方的。[1]

林德曼证明\pi的超越性用到了现在称为林德曼-魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼-魏尔斯特拉斯定理说明,如果若干个代数数z_1, z_2, \cdots , z_n在有理数域\mathbb{Q}上线性独立,那么e^{z_1}, e^{z_2}, \cdots , e^{z_n}也在\mathbb{Q}上线性独立。反设\pi是代数数,那么\pi i也是代数数。考虑代数数0和\pi i,由于\pi i是无理数,所以它们在\mathbb{Q}上线性独立。然而e^{0}e^{\pi i}分别是1和-1,并非在\mathbb{Q}上线性独立,矛盾。这说明\pi不是代数数,而是超越数。[2]

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗?》. 原載於科學月刊第九卷第四期. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. 
  2. ^ 2.0 2.1 康明昌. 《古希臘幾何三大問題 》. 原載於數學傳播第八卷第二期、第八卷第三期分兩期刊出. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-29]. 


外部鏈接[编辑]