十一面體

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部分的十一面體
Bisymmetric Hendecahedron.svg
雙對稱十一面體
Dual elongated pentagonal pyramid.png
五角錐台錐
Elongated pentagonal pyramid.png
正五角錐柱
Dual gyroelongated pentagonal pyramid.png
正五角錐反角柱的對偶
Augmented hexagonal prism.png
側錐六角柱
Biaugmented triangular prism.png
二側錐三角柱

幾何學中,十一面體英语:Hendecahedron)是指具有十一多面體[1]。沒有任何十一面體是正十一面體,也就是說找不到面由正多邊形組成且每個面全等、每個角相等的十一面體。

命名[编辑]

十一面體的英文是Hendecahedron,其命名方式為Hen-代表一,deca代表十,然後結合多面體字尾-hedron,就得到十一面體Hendecahedron[2]

常見的十一面體[编辑]

在所有凸十一面體中,包含鏡射像共有440,564種拓樸結構明顯差異的凸十一面體[3][4]。拓樸結構有明顯差異意味著兩種多面體無法透過移動頂點位置、扭曲或伸縮來相互變換的多面體,例如五角錐柱和九角柱無論如何變形都無法互相變換,因此拓樸結構不同,但九角柱和九角錐台可以透過伸縮其中一個九邊形面來彼此互換,因此三角柱和三角錐台在拓樸上並無明顯差異。

常見的十一面體有錐體柱體、部分的詹森多面體半正多面體,此處的半正多面體並非阿基米德立體,而是正九角柱。

其他十一面體還有九角柱、十角錐、正五角錐反角柱的對偶、雙對稱十一面體等多面體,其中雙對稱十一面體可以密鋪空間。[5]

截半三角柱[编辑]

截半三角柱的旋轉動畫

在幾何學中,截半三角柱是指經過截半變換後的三角柱,是一種十一面體,其側面是正方形、底面是正三角形,另外還有6個等腰三角形面。

截半三角柱可由三角柱將邊的中點當作新的頂點,舊的頂點消失,來構造,換句話說,即是用三角柱由一條棱斬到另一條棱的中點(即斬去三角柱的頂點,但不是截角)而成。

其具有D3h二面體群的對稱性。

詹森多面體[编辑]

在十一面體中,有3個是詹森多面體,它們分別為:正五角錐柱二側錐三角柱側錐六角柱

名稱 種類 圖像 編號 頂點 面的種類 對稱性 展開圖
正五角錐柱 角錐柱 Elongated pentagonal pyramid.png J9[6] 11 20 11 5個正三角形Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
5個正方形Red square.gif
1個正五邊形Regular polygon pentagon.svg
C5v, [5], (*55) Johnson solid 9 net.png
二側錐三角柱 錐體與柱體的組合 Biaugmented triangular prism.png J50[7] 8 17 11 10個正三角形Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
1個正方形Red square.gif
C2v Johnson solid 50 net.png
側錐六角柱 錐體與柱體的組合 Augmented hexagonal prism.png J54[8] 8 17 11 4個正三角形Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
5個正方形Red square.gif
2個六邊形6-fold rotation axis.svg
C2v Johnson solid 54 net.png

九角柱[编辑]

九角柱是一種底面為九邊形的柱體,由11個面27條邊和18個頂點組成。正九角柱代表每個面都是正多邊形的九角柱,其每個頂點都是2個正方形和1個九邊形的公共頂點,因此具有每個角等角的性質,可以歸類為半正十一面體。

十角錐[编辑]

十角錐是一種底面為十邊形的錐體,其具有11個面、20條邊和11個頂點,其對偶多面體是自己本身。正十角錐是一種底面為正十邊形的十角錐。

十一面體列表[编辑]

名稱 種類 圖像 符號 頂點 χ 面的種類 對稱性 展開圖
九角柱 稜柱體 Prism 9.png t{2,9}
{9}x{}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.png
18 27 11 2 2個九邊形Regular nonagon.svg
9個矩形Rectangle example.svg
D9h, [9,2], (*922), order 36
十角錐 稜錐體 Decagonal pyramid1.png ( ) ∨ {10} 11 20 11 2 1個十邊形Decagon.svg
10個三角形Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
C10v, [10], (*10 10)
五角錐柱 角錐柱
詹森多面體
Elongated Pentagonale piramide.png P5+Y5 11 20 11 2 5個三角形Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
5個正方形Red square.gif
1個五邊形Regular polygon pentagon.svg
C5v, [5], (*55)
五角錐台錐 截角雙錐 Dual elongated pentagonal pyramid.png 11 20 11 2 1個五邊形Regular polygon pentagon.svg
5個梯形Trapézio.PNG
5個三角形Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
C5v, [5], (*55) Dual elongated pentagonal pyramid net.png
截半三角柱 Rectified triangular prism.gif 9 18 11 2 2個三角形Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
3個正方形Red square.gif
6個等腰三角形Basic isosceles triangle.svg
D3h, [3,2], (*322), order 12 Net of rectified triangular prism.svg
截角雙三角錐 18 27 11 2 6個六邊形6-fold rotation axis.svg
3個正方形Red square.gif
2個三角形Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
D3h, [3,2], (*223) order 12
截半雙三角錐 9 18 11 2 3個正方形Red square.gif
8個三角形Red Equilateral triangle(R=204,GB=0).svg
D3h, [3,2], (*223) order 12
雙對稱十一面體 空間充填多面體 Bisymmetric Hendecahedron.svg 11 20 11 2 4個箏形DU27 facets.png
2個菱形DU07 facets.png
4個等腰三角形Basic isosceles triangle.svg
1個正方形Red square.gif
Net of Bisymmetric Hendecahedron.svg

在化學中[编辑]

化學中,將十八面體硼烷離子([B11H11]2−)的全部去掉後,可以得到一個結構,它是十八面體,再將每個原子做垂直於重心到硼原子的面,可構造成新的多面體,即為十八面體硼烷結構的對偶多面體,也是十一面體之一。[9]

雙對稱十一面體[编辑]

雙對稱十一面體(Bisymmetric Hendecahedron)是十一面體的一種多面體

柏拉圖阿基米德立體,只有少數可以密鋪於空間,也就是說堆砌在一起,不留空隙,以填補空間。Guy Inchbald描述了以個有趣的多面體,可以以令人驚訝的方式利用11面體完成空間的密鋪。[5][10][11]

圖像 旋轉動畫 展開圖
Bisymmetric Hendecahedron.svg Bisymmetric Hendecahedron.gif Net of Bisymmetric Hendecahedron.svg

曾有人提出一個十一面體[5],它的面數和頂點數是相同的[12],經過扭曲後,會得到不同的特性。最對稱的自身對偶十一面體是雙對稱十一面體[13],它之所以會稱為雙對稱是因為它有兩個對稱面[12]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Thomas H. Sidebotham. The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. John Wiley & Sons. 2003: 237. ISBN 9780471461630. 
  2. ^ Schwartzman Steven. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English MAA Spectrum. Washington, D.C. : The Mathematical Association of America,. 1994: 243. ISBN 9780883855119. 
  3. ^ Steven Dutch: How Many Polyhedra are There?
  4. ^ Counting polyhedra numericana.com [2016-1-10]
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Inchbald, Guy. "Five Space-Filling Polyhedra." The Mathematical Gazette 80, no. 489 (November 1996): 466-475.
  6. ^ 埃里克·韦斯坦因. Elongated Pentagonal Pyramid. MathWorld. 
  7. ^ 埃里克·韦斯坦因. Biaugmented triangular prism. MathWorld. 
  8. ^ 埃里克·韦斯坦因. Augmented pentagonal prism. MathWorld. 
  9. ^ Holleman, A. F.; Wiberg, E., Inorganic Chemistry, San Diego: Academic Press: 1165, 2001, ISBN 0-12-352651-5 
  10. ^ Space-Filling Bisymmetric Hendecahedron. [2013-04-11]. 
  11. ^ Anderson, Ian. "Constructing Tournament Designs." The Mathematical Gazette 73, no. 466 (December 1989): 284-292.
  12. ^ 12.0 12.1 A Self-Dual Hendecahedron steelpillow.com [2013-4-12]
  13. ^ Five space-filling polyhedra steelpillow.com [2013-4-12]