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十二进制

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底数区分的进位制系统
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 60 64

十二进制数学中一种以12底数记数系统,通常使用数字0~9以及字母A、B(或X、E)来表示。其中,A(或X)即数字10,B(或E)即数字11。美国速记发明人艾萨克·皮特曼还曾创造过一种标记法,使用翻转的2和3来表示10和11。十二进制中的10代表十进制的12,也称为一。同样的,十二进制的100代表十进制的144(=122),也称为一;十二进制的1000代表十进制的1728(=123),也称为一大罗;而十二进制的0.1则代表十进制的\tfrac{1}{12}

12作为一个高合成数,2、3、4、6都是它的因子。正因为如此,十二进制比十进制在有些情况下更易于使用(除了1和10本身,10只有2、5是它的因子)。另外,由于它的因子2和3都是素数,所有只含有质因子2和3的整数(即3-光滑数,如2、3、4、6、8、9……)的倒数在十二进制中都是有限小数。而五个最常用的分数(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{3}\tfrac{2}{3}\tfrac{1}{4}\tfrac{3}{4})在十二进制中也都有非常简单的表示形式(分别为0.6、0.4、0.8、0.3和0.9)。12是拥有这一性质的最小的底数。在表示分数方面,除了六十进制外,十二进制要比其他常用的进制(诸如十进制、二进制二十进制八进制十六进制)都更为方便。

应用[编辑]

历法[编辑]

16世纪木版画中的十二宫

历史上,在很多古老文明中都使用十二进制来记时。这或许是由于一年中月球绕地球转十二圈,也有人认为这和人类一只手有十二节指骨有关(不包括姆指,一根手指有三节指骨),这样方便记数。[1]古埃及文明就将白天夜晚分别划分为12部分,而从古巴比伦文明传承到西方文化中的黄道十二宫则是将一年分为了12个星座

在中国文化中,十二进制在记时中也有广泛应用。中国古代设有12地支,与一天的12个时辰对应。一个地支还对应两个节气,从而表示一年的二十四节气。同时,将地支与12种动物对应,成为十二生肖,来表示12年为周期的循环。

度量衡[编辑]

十二进制在各种度量衡中也经常会使用。如英制单位中一英尺等于12英寸,金衡制中一金衡磅等于12金衡盎司。

历史上,古罗马帝国曾使用的Uncia,既是长度单位也是货币单位,其在拉丁文中的含义是\tfrac{1}{12}。而在推行十进制系统前,古代英国使用的十二进制与二十进制混合的货币系统,其中一先令等于12便士

语言[编辑]

使用十二进制的语言并不常见,其中包括尼日利亚中部地带(Middle Belt)的一些语言如Janji、Gbiri-Niragu(Kahugu)、关达拉语(Gwandara)方言Nimbia,[2]尼泊尔的车旁语(Chepang),[3]以及印度米尼科伊岛迪维希语。在小说中,托尔金精灵语用的也是十二进制。

日耳曼语族的语言对数字11和12都有特殊的对应单词,如英语中的eleven和twelve、德语中的elf和zwölf,导致这些语言常被误解为是基于十二进制的。事实上,从语源学上来看,两者来自原始日耳曼语中的*ainlif和*twalif,字面含义为“剩下一个”和“剩下两个”,因此这些语言都是基于十进制的。

音階[编辑]

樂理上,一個循環(從C到B,包括白鍵黑鍵)共有12個音,每一首曲子都是由12個大調與12個小調之一所寫成的,其中,若以x來代表一個音,則x+12就是比它高八度的音,x-12就是低八度,x+9就是大六度,x+5就是完全四度,餘依此類推,因此,可令C=0,C#=1,D=2,Eb=3,E=4,F=5,F#=6,G=7,Ab=8,A=9,Bb=10,B=11,於是,在x大調(或x+9小調)的y音(首調唱名)之(固定唱名)就是x+y音,並且,若連接x與x+3,即同時彈奏所有3k,3k+1或3k+2的音,則會形成減七和弦,若連接x與x+4,則會變成增和弦(+5),若連接x與x+5,則由與5無法整除12,且5與12互質,因此,會形成一個包含所有音的圈,且正好是五度圈

乘法表[编辑]

十二进制乘法表
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A 20
3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30
4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38 40
5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47 50
6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60
7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65 70
8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80
9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90
A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92 A0
B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1 B0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 100

与十进制的相互转换[编辑]

注:下标12表示该数为十二进制,无下标则表示该数为十进制。

十二进制转十进制[编辑]

十二进制到十进制的转换可按下面的例子进行:

123456.78_{12} = 1 \times 12^5 + 2 \times 12^4 + 3 \times 12^3 + 4 \times 12^2 + 5 \times 12^1 + 6 \times 12^0  + 7 \times 12^{-1} + 8 \times 12^{-2}
 = 248832 + 41472 + 5184 + 576 + 60 + 6 + 0.58 \dot{3} + 0.05 \dot{5} = 296130.63 \dot{8}

十进制转十二进制[编辑]

十进制到十二进制的转换可按下面的例子进行:

123456 ÷ 12 = 10288 ... 0
 10288 ÷ 12 =   857 ... 4
   857 ÷ 12 =    71 ... 5
    71 ÷ 12 =     5 ... 11 (B)
     5 ÷ 12 =     0 ... 5

将最右排的数从下往上依次写下,即得到123456 = 5B54012

分数与无理数[编辑]

分数[编辑]

在十二进制中,很多分数能表示成十分简单的形式:

  • 1/2 = 0.6
  • 1/3 = 0.4
  • 1/4 = 0.3
  • 1/6 = 0.2
  • 1/8 = 0.16
  • 1/9 = 0.14

这些分数的共同特点是他们都可以写成2^i3^j的形式。

倍數判別法[编辑]

以下為在12進制中倍數的判別方法,由於小於12且與12互質的數只有1,5,7,11,而由於任何數都是1的倍數,且52=2x12+1,72=4x12+1,故5與7的倍數很好判別,而由於11=12-1,因此可仿照十進制中9的倍數之判別方式,來判別十二進制中11的倍數。

數字 倍數判別法
1 任何數都是1的倍數
2 個位數為0,2,4,6,8,A
3 個位數為0,3,6,9
4 個位數為0,4,8
5 每兩位一區間,奇數區間之和減去偶數區間之和為5的倍數(因為5可整除101),當少於或等於兩位時,就把個位數乘以2再與其他位數相減(因為5可整除21)
6 個位數為0,6
7 每三位一區間,奇數區間之和減去偶數區間之和為7的倍數(因為7可整除1001),當少於或等於三位時,就把個位數乘以4再與其他位數相減(因為5可整除41)
8 末兩位為8的倍數
9 末兩位為9的倍數
A 2與5的倍數
B 各位數字和為B的倍數
10 末尾為0
11 奇數位數與偶數位數之差為11的倍數
12 2與7的倍數
13 3與5的倍數
14 末兩位為14的倍數
15 個位乘以7再與其他位數相減(因15可整除71),照此反覆做下去,若最後得到的結果是15的倍數的話就是,否則就不是!
16 末兩位為16的倍數
17 每三位一區間,奇數區間之和減去偶數區間之和為17的倍數(因為17可整除1001),當少於或等於三位時,就把個位數乘以8再與其他位數相加(因為17可整除7B)
18 4與5的倍數
19 3與7的倍數
1A 2與B的倍數
1B 個位乘以2再與其他位數相加(因1B可整除1B),照此反覆做下去,若最後得到的結果是1B的倍數的話就是,否則就不是!
20 個位數為0,十位數為偶數

十二進制中的水仙花數[编辑]

25:22+52=25
A5:A2+52=A5
577:53+73+73=577
668:63+63+83=668
A83:A3+83+33=A83

顯然,任何一位數(從1到B)都是水仙花數,另外,在十二進制中,不存在四位數的水仙花數。

循环小数[编辑]

通常,日常生活中遇到与3有关的除法问题比起与5有关的更多,因而如果使用十二进制来计数比起十进制遇到循环小数的可能性更小。这也是有些人支持十二进制的原因,他们认为既然一年有十二个月,使用十二进制在财务问题的计算上会方便很多。

但在真正遇到循环小数的时候,十二进制的表示比起十进制通常又会有更长的循环项。这是因为12位于两个素数11和13之间,而10则与一个合数9相邻。尽管如此,在更多的情况下我们都对数字进行修约,这点上的区别并不是那么明显。另外,由于12的因子分解中2出现了两次,而10只有一次,因而对于大多分母是2的幂的分数,十二进制的表示形式更简短。如1/22 = 0.25 = 0.312,1/23 = 0.125 = 0.1612,1/24 = 0.0625 = 0.0912,1/25 = 0.03125 = 0.04612等等。

十进制
底数的素数因子: 2, 5
十二进制
底数的素数因子:2, 3
分数 分母的素数因子 小数表示 小数表示 分母的素数因子 分数
1/2 2 0.5 0.6 2 1/2
1/3 3 0.3333... = 0.3 0.4 3 1/3
1/4 2 0.25 0.3 2 1/4
1/5 5 0.2 0.24972497... = 0.2497 5 1/5
1/6 2, 3 0.16 0.2 2, 3 1/6
1/7 7 0.142857 0.186A35 7 1/7
1/8 2 0.125 0.16 2 1/8
1/9 3 0.1 0.14 3 1/9
1/10 2, 5 0.1 0.12497 2, 5 1/A
1/11 11 0.09 0.1 B 1/B
1/12 2, 3 0.083 0.1 2, 3 1/10
1/13 13 0.076923 0.0B 11 1/11
1/14 2, 7 0.0714285 0.0A35186 2, 7 1/12
1/15 3, 5 0.06 0.09724 3, 5 1/13
1/16 2 0.0625 0.09 2 1/14
1/17 17 0.0588235294117647 0.08579214B36429A7 15 1/15
1/18 2, 3 0.05 0.08 2, 3 1/16
1/19 19 0.052631578947368421 0.076B45 17 1/17
1/20 2, 5 0.05 0.07249 2, 5 1/18
1/21 3, 7 0.047619 0.06A3518 3, 7 1/19
1/22 2, 11 0.045 0.06 2, B 1/1A
1/23 23 0.0434782608695652173913 0.06316948421 1B 1/1B
1/24 2, 3 0.0416 0.06 2, 3 1/20
1/25 5 0.04 0.05915343A0B62A68781B 5 1/21
1/26 2, 13 0.0384615 0.056 2, 11 1/22
1/27 3 0.037 0.054 3 1/23
1/28 2, 7 0.03571428 0.05186A3 2, 7 1/24
1/29 29 0.0344827586206896551724137931 0.04B7 25 1/25
1/30 2, 3, 5 0.03 0.04972 2, 3, 5 1/26
1/31 31 0.032258064516129 0.0478AA093598166B74311B28623A55 27 1/27
1/32 2 0.03125 0.046 2 1/28
1/33 3, 11 0.03 0.04 3, B 1/29
1/34 2, 17 0.02941176470588235 0.0429A708579214B36 2, 15 1/2A
1/35 5, 7 0.0285714 0.0414559B3931 5, 7 1/2B
1/36 2, 3 0.027 0.04 2, 3 1/30
1/37 37 0.027 0.03A85232B 31 1/31
1/38 2, 19 0.0263157894736842105 0.0395826 2, 17 1/32
1/39 3, 13 0.025641 0.038 3, 11 1/33
1/40 2, 5 0.025 0.037249 2, 5 1/34

无理数[编辑]

无论对于十进制、十二进制还是其他以有理数为底数的记数系统,所有的无理数都只能表示成无限不循环小数。下表列出了一些代数无理数超越无理数的十进制与十二进制的表示。

代数数 十进制 十二进制
\sqrt{2} 1.41421356237309... (≈ 1.414) 1.4B79170A07B857... (≈ 1.4B8)
\sqrt{3} 1.73205080756887... (≈ 1.732) 1.894B97BB968704... (≈ 1.895)
\sqrt{5} 2.2360679774997... (≈ 2.236) 2.29BB132540589... (≈ 2.2A)
φ(黄金分割,= \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} 1.6180339887498... (≈ 1.618) 1.74BB6772802A4... (≈ 1.75)
超越无理数 十进制 十二进制
π(圆周率) 3.1415926535897932384626433
8327950288419716939937510...
(≈ 3.1416)
3.184809493B918664573A6211B
B151551A05729290A7809A492...
(≈ 3.1848)
e(自然对数的底) 2.718281828459045... (≈ 2.718) 2.8752360698219B8... (≈ 2.875)

下面是另一个重要常数欧拉-马歇罗尼常数在十进制与十二进制中的表示(现在仍无法确定其是有理数还是无理数):

十进制 十二进制
γ(欧拉-马歇罗尼常数) 0.57721566490153... (~ 0.577) 0.6B15188A6760B3... (~ 0.6B1)

支持[编辑]

F·爱默生·安德鲁斯(F. Emerson Adnrews)在其1935年出版的著作《新的数字:接受十二进制使数学更简单》(New Numbers: How Acceptance of Duodecimal Base Would Simplify Mathematics)中详细地提出了一种基于十二进制的体系。安德鲁斯写到,由于12的因子在许多传统度量衡中很普遍,很多所谓米制在计算上的优势在十二进制中同样存在。

十二进制和十六进制与二十进制一样,一般都都以A代表10,而B代表11。而安德鲁斯在他的书中提出了一种新的方案,使用手写体的X和E,即x\!(U+1D4B3)和\mathcal{E}\!(U+2130)来分别代表10和11。原因是这两个符号能与其他的字母与数字很好地区别开,同时x\!和X(即罗马数字10)很相像,而\mathcal{E}\!则是单词eleven(即英文11)的首字母。

另一种知名的标记方法是艾萨克·皮特曼提出的,它主张用翻转的2表示10,水平翻转的3代表11(也就是\mathcal{E}\!)。这一方案被大不列颠十二进制协会(Donzel Society of Great Britain)所采用,其优势是与现有数字相似,比较容易辩认。而美国十二进制协会则用星号*和井号#分别代表10和11,原因在于*类似加上删除线的X、#类似加上双删除线的11,而且两者正好都能在电话拨号盘上找到。然而,批评者则指责说这些符号看起来完全不像数字。还有些系统用ɸ表示10(1与0的合体)以及交叉的十字+、x、或者†表示11。而所有这些符号的缺点是无法在计算器上通过七段LED数码管来显示(\mathcal{E}\!是个例外,但很多计算器上已经用E来表示错误信息了)。不过,10和11本身倒是能够在一个数码内显示(11显然可以,10需要进行翻转,如同O加上了长音符号,即ō或0)。A和B也可以做到这一点,只是B需要改用小写的b。

在美国动漫教学片《校舍摇滚》(Schoolhouse Rock!)的一集中,描绘了一个外星小孩使用十二进制算术的场景,分别用dek、el和doh作为10、11和12的名称,还使用安德鲁斯的符号x\!\mathcal{E}\!来表示10和11。(dek来自前缀deca,el是eleven的缩写,而doh是dozen的缩写)

美国十二进制协会和大不列颠十二进制协会都在促进十二进制在更大范围内的使用。他们还使用dozenal替代duodecimal(英语:十二进制),原因是后者来自拉丁语词根,用十进制的方法来表示12,即将12拆为了2和10。

知名数学家亚历山大·艾特肯(Alexander Craig Aitken)曾说“十二进制比十进制更易于掌握,使用十二进制进行计算会比用十进制快一半以上”,[4]他还说如果十二进制的效率是100分的话,十进制只有65分或更低。[5]

里奥·弗兰克斯基(Leo Frankowski)的小说《康拉德·施塔加德》(Conrad Stargard)中,康拉德在商人中引入了一种十二进制的体系,其中的买卖都是以一打或一罗作为单位来计数的。他还发明了一整套十二进制的度量衡,包括每天只有12个小时的时钟。

支持过十二进制的还包括赫伯特·斯宾塞约翰·昆西·亚当斯萧伯纳等。[6]

参考[编辑]

  1. ^ Nishikawa, Yoshiaki, ヒマラヤの満月と十二進法 (The Full Moon in the Himalayas and the Duodecimal System), 2002 [2008-03-24] 
  2. ^ Matsushita, Shuji, Decimal vs. Duodecimal: An interaction between two systems of numeration, 2nd Meeting of the AFLANG, October 1998, Tokyo, 1998 [2008-03-17] 
  3. ^ Mazaudon, Martine, Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes, (编) François, Jacques, La Pluralité (PDF), Leuven: Peeters: 91–119, 2002, ISBN 9042912952 
  4. ^ Basic Stuff
  5. ^ The Case against Decimalisation
  6. ^ Duodecimal. MathWorld. [2010-01-27].