半立方抛物线

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不同a值的半立方抛物线

半立方抛物线(cuspidal cubic)是一個參數式如下的平面代數曲線[1]

隱方程英语implicit curve

可以求得y得到以下的式子[1]

三次平面曲線原點有一尖點

若令u = at, X = a2x,且令Y = a3y,可得

這意味著,針對任意的實數a,此曲線都可以位似變換英语homothetic transformationa = 1的曲線,也就是說,不同的a只對應不同的單位長度。

性質[编辑]

有一種特殊的半立方抛物线,是抛物线渐屈线[2],其方程式為

若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開,可以證明也是半立方抛物线[3]

半立方抛物线的另一個特性是其為等時曲線英语isochrone curve,也就是說一物體在其曲線上,因重力而往下移動,在相同的時間內會移動相同的距離。因此此曲線和等時降線有關,也是物體在不同的位置因重力同時往下移動,會在相同的時間到達最下方。此曲線也和最速降線問題有關,物體沿此軌跡,會從起點以最快速度到達終點[4]

半立方抛物线等時曲線的特性是由雅各布·伯努利為了回答戈特弗里德·莱布尼茨在1687年提出的一個挑戰,在1690年提出此曲線的特性[4]

參考資料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Pickover, Clifford A., The Length of Neile's Semicubical Parabola, The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc.: 148, 2009, ISBN 9781402757969 .
  2. ^ Yoder, Joella G., Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature, Cambridge University Press: 88, 2004, ISBN 9780521524810 .
  3. ^ 埃里克·韦斯坦因. Tschirnhausen Cubic Catacaustic. MathWorld. 
  4. ^ 4.0 4.1 Carnahan, Walter H., Time Curves, School Science and Mathematics, 1947, 47 (6): 507–511, doi:10.1111/j.1949-8594.1947.tb06153.x .

外部連結[编辑]