半連續性

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數學分析中,半連續性是實值函數的一種性質,分成上半連續下半連續,半連續性較連續性弱。

形式定義[编辑]

X拓撲空間x_0 \in X,而 f: X \to \R 為實值函數。若對每個 ε > 0 都存在 x_0 的開鄰域 U 使得 \forall x \in U, \; f(x) < f(x_0) + \epsilon,則稱 fx_0 上半連續。該條件也可以用上極限等價地表述:

\limsup_{x \to x_{0}} f(x) \leq f(x_{0})

fX 上的每一點都是上半連續,則稱之為上半連續函數

下半連續性可以準此定義:若對每個 ε > 0 都存在 x_0 的開鄰域 U 使得 \forall x \in U, \; f(x) > f(x_0) - \epsilon,則稱 fx_0 下半連續。用下極限等價地表述為:

\liminf_{x \to x_{0}} f(x) \geq f(x_{0})

fX 上的每一點都是下半連續,則稱之為下半連續函數

拓撲 ]-\infty, a[ \;\;(a \in \R) 賦予實數線 \R 較粗的拓撲,上半連續函數可以詮釋為此拓撲下的連續函數。若取基為 ]a, +\infty[ \;\;(a \in \R),則得到下半連續函數。

例子[编辑]

上半連續函數的例子(藍點表 f(x_0)

考慮函數

f(x) = \begin{cases} -1 &, x < 0 \\ 1 &, x \geq 0 \end{cases}

此函數在 x_0 上半連續,而非下半連續。

下半連續函數的例子(藍點表 f(x_0)

下整數函數 f(x)=\lfloor x \rfloor 處處皆上半連續。同理,上整數函數 f(x)=\lceil x \rceil 處處皆下半連續。

性質[编辑]

一個函數在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。

f, g 在某一 點上半連續,則 f+g 亦然;若兩者皆非負,則 fg 在該點也是上半連續。若 f 在一點上半連續,則 -f 在該點下半連續,反之亦然。

X 為緊集(例如閉區間),則其上的上半連續函數必取到極大值,而下半連續函數必取到極小值。

f_n 為下半連續函數序列,而且對所有 x \in X

f(x) = \sup_n f_n(x) < +\infty

f 是下半連續函數。

開集的指示函數為下半連續函數,閉集的指示函數為上半連續函數。

文獻[编辑]

  • Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. Counterexamples in analysis. Dover Publications. 2003. ISBN 0486428753. 
  • Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. 1997. ISBN 9810225342.