共變異數(英語:Covariance),在機率論與統計學中用於衡量两个随机变量的联合变化程度。
「Covariance」的各地常用譯名 |
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中国大陸 | 协方差 |
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臺灣 | 共變異數 |
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港澳 | 協方差 |
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日本、韓國 | 共分散 |
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若变量X的较大值主要与另一个变量Y的较大值相对应,而两者的较小值也相对应,则可稱兩變數倾向于表现出相似的行为,协方差为正。在相反的情况下,当一个变量的较大值主要对应于另一个变量的较小值时,则两变量倾向于表现出相反的行为,协方差为负。即共變異數之正負號顯示著變數的相关性。
协方差的数值大小取决於變數大小,因此不易解釋。不过,常態形式的协方差大小可以显示两变量线性关系的强弱,可见皮尔逊积矩相关系数。
方差為协方差的一种特殊情況,即該變數與其自身之共變異數。
期望值分别为
与
的两个具有有限二阶矩的实数随机变量X 与Y 之间的协方差定义为:

协方差表示的是两个变量的总体的误差,这与只表示一个变量误差的方差不同。
如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。
如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。
如果X 与Y 是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0,这是因为

但是反过来并不成立,即如果X 与Y 的协方差为0,二者并不一定是统计独立的。
取决于协方差的相关性η

更准确地说是线性相关性,是一个衡量线性独立的无量纲数,其取值在[-1, 1]之间。相关性η = 1时称为“完全线性相关”(相关性η = -1时称为“完全线性负相关”),此时将Yi对Xi作Y-X 散点图,将得到一组精确排列在直线上的点;相关性数值介于-1到1之间时,其绝对值越接近1表明线性相关性越好,作散点图得到的点的排布越接近一条直线。
相关性为0(因而协方差也为0)的两个随机变量又被称为是不相关的,或者更准确地说叫作“线性无关”、“线性不相关”,这仅仅表明X 与Y 两随机变量之间没有线性相关性,并非表示它们之间一定没有任何内在的(非线性)函数关系,和前面所说的“X、Y二者并不一定是统计独立的”说法一致。
如果X 与Y 是实数随机变量,a 与b 是常数,那么根据协方差的定义可以得到:
,
,
,
对于随机变量序列X1, ..., Xn与Y1, ..., Ym,有
,
对于随机变量序列X1, ..., Xn,有
。
协方差矩阵[编辑]
分别为m 与n 个标量元素的列向量随机变量X 与Y,二者对应的期望值分别为μ与ν,这两个变量之间的协方差定义为m×n 矩阵

两个向量变量的协方差cov(X, Y)与cov(Y, X)互为转置矩阵。
协方差有时也称为是两个随机变量之间“线性独立性”的度量,但是这个含义与线性代数中严格的线性独立性线性独立不同。