卡塔兰常数

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卡塔兰常数 G,是一个偶尔出现在组合数学中的常数,定义为:

G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots

其中β是狄利克雷β函数。它的值[1]大约为:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前还不知道G有理数还是无理数

积分恒等式[编辑]

一些恒等式包括:

G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln(t)}{1 + t^2} {\rm{d}} t
G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} {\rm{d}}x {\rm{d}}y
G = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{t}{\sin t \cos t} {\rm{d}}t

还有

 G = \tfrac12\int_0^1 \mathrm{K}(k)\,{\rm{d}}x

其中K(x)\,是第一类完全椭圆积分

 G = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}{\rm{d}}x

应用[编辑]

G出现在组合数学中,也出现在第二多伽玛函数(也称为三伽玛函数)的值中。

 \psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8G
 \psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8G

Simon Plouffe给出了无穷多个含有三伽玛函数、\pi^2和卡塔兰常数的恒等式。

快速收敛级数[编辑]

以下两个级数收敛得很快,可以用于计算卡塔兰常数的值:

G = \, 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\frac{1}{2(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}
-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}
+\frac{1}{2(8n+1)^2}
\right) -

2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(
\frac{1}{2^4(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}
-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}
-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}
\right)

以及

G = \frac{\pi}{8} \log(\sqrt{3} + 2) + \tfrac38 \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.

已知的位数[编辑]

已知的位数
日期 位数 计算者
2009年4月16日 31,026,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[1]
2009年1月31日 15,510,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2008年8月 10,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[3]
2006年10月 5,000,000,000 Shigeru Kondo[4]
2002年 201,000,000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001年 100,000,500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
1998年1月4日 12,500,000 Xavier Gourdon
1997年 3,379,957 Patrick Demichel
1996年 1,500,000 Thomas Papanikolaou
1996年9月29日 300,000 Thomas Papanikolaou
1996年8月14日 100,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996年 50,000 Greg J. Fee
1990年 20,000 Greg J. Fee
1913年 32 James W. L. Glaisher
1877年 20 James W. L. Glaisher

参考文献[编辑]