印符数论

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印符数论英语Typographical Number Thoery,简称TNT),是一种用来描述自然数的形式公理系统,由侯世达在《哥德尔、埃舍尔、巴赫》一书中提出。TNT是皮亚诺算术的一种实现,侯世达以此来解释哥德尔不完备定理

如同其他实现皮亚诺公理的系统,TNT是自指的。

数字[编辑]

TNT并没有对每一自然数指定不同的符号,而是使用一种统一的方式来表示所有自然数。其中符号S可理解为“后继”之意。

0
S0
SS0
SSS0
SSSS0
SSSSS0

变元[编辑]

为了表示不定项,TNT中使用了五个变元,分别为:

a, b, c, d, e

通过添加撇号可以构造出更多的变元,如:

a', b', c', a'', a'''

另外一种“简朴的”版本的TNT仅使用a与撇号表示变元:

a', a'', a''', ...

操作符[编辑]

加法与乘法[编辑]

TNT中使用“+”表示加法、“·”表示乘法。因此“b加c”可表示为

(b + c)

而“a乘d”则可以写为

(a·d)

其中括号是必须的。此外加法与乘法都是二元运算,因而“a加b加c”改须写为

((a + b) + c)

(a + (b + c))

等于[编辑]

“=”在TNT中表示“等于”的概念,例如

(SSS0 + SSS0) = SSSSSS0

在TNT中是一个真命题,表示“3加3等于6”。

否定[编辑]

“~”表示否定之意,例如

~(SSS0 + SSS0) = SSSSSSS0

在TNT中是一个真命题,表示“3加3不等于7”。

其中否定是指逻辑非,例如“我在吃葡萄柚”的否定是“我不在吃葡萄柚”,而不是“我在吃葡萄柚以外的东西”。又比如,“电视开着”的否定是“电视没有开着”,而不是“电视关着”。

量词[编辑]

TNT中使用了∀(全称量词,表示“任何”)与∃(存在量词,表示“存在”)两个量词。例如,

∀a:∀b:[ (a + b) = (b + a) ]

(“对任意数a与数b,a加b等于b加a”,或用更概括的说法为“加法是可交换的”)

~∃c:Sc = 0

(“不存在数c使得c加一等于零”,或用更概括的说法为“零不是任何数的后继”)

原子与命题陈述[编辑]

命题演算中除原子符号外的所有符号都被用于TNT之中,并保持原来的解释。

原子则被关于相等陈述的串替代,如

1不等于2:

~ S0=SS0

2加3等于5:

(SS0 + SSS0) = SSSSS0

2加2不等于3:

~[ (SS0 + SS0) = SSS0 ]

参考文献[编辑]

  • Hofstadter, Douglas R., Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Basic Books. 1999 [1979], ISBN 0-465-02656-7 .