卷绕数

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这条曲线关于点p的卷绕数是2。

平面上的闭曲线关于某个点的卷绕数,是一个整数,它表示了曲线绕过该点的总次数。卷绕数与曲线的定向有关,如果曲线依顺时针方向绕过某个点,则卷绕数是负数。

卷绕数在代数拓扑中是基本的概念,在向量分析复分析几何拓扑微分几何物理学中也扮演了重要的角色。

描述[编辑]

沿着红色曲线移动的物体绕着原点逆时针旋转了两圈。

假设在xy平面上有一条有向的闭曲线。我们可以把曲线想象为某个物体的运动轨迹,运动方向就是曲线的方向。曲线的卷绕数就是物体逆时针绕过原点的总次数。

计算绕过原点的总次数时,逆时针方向的运动算正数,顺时针方向的运动算负数。例如,如果物体首先依逆时针方向绕过原点四次,然后再依顺时针方向绕过原点一次,那么曲线的卷绕数就是3。

利用这种方案,根本不绕过原点的曲线的卷绕数就是零,而顺时针绕过原点的曲线的卷绕数就是负数。因此,曲线的卷绕数可以是任何整数。以下的图中显示了卷绕数为-2、-1、0、1、2和3的曲线:

\cdots   Winding Number -2.svg     Winding Number -1.svg     Winding Number 0.svg  
−2 −1 0
  Winding Number 1.svg     Winding Number 2.svg     Winding Number 3.svg   \cdots
1 2 3

正式的定义[编辑]

x-y平面上的曲线可以用参数方程来定义:

x = x(t)\quad , \quad y=y(t)\qquad (0 \leq t \leq 1).

如果我们把参数t视为时间,那么这个方程就描述了物体在t = 0t = 1期间在平面上的运动。只要函数x(t)和y(t)是连续的,运动的轨迹就是一条曲线。只要物体的位置于t = 0t = 1时相同,这条曲线就是闭曲线。

我们可以用极坐标系来定义这种曲线的卷绕数。假设曲线不经过原点,我们可以把参数方程写成极坐标的形式:

r = r(t)\quad , \quad \theta = \theta(t)\qquad (0 \leq t \leq 1).

函数r(t)和θ(t)必须是连续的, r > 0。因为最初和最终的位置是相同的,所以θ(0)和θ(1)的差必须是2π的整数倍。这个整数就是卷绕数:

卷绕数 = \frac{\theta(1) - \theta(0)}{2\pi}

这个公式定义了xy平面上曲线关于原点的卷绕数。把坐标系平移,我们就可以把这个定义推广到关于任何点p的卷绕数。

其它定义[编辑]

卷绕数在不同的数学领域中通常有不同的定义。以下的定义都与上面的定义等价。

微分几何[编辑]

微分几何中,通常假设参数方程是可微的(或至少分段可微的)。在这种情况下,极坐标系θ与直角坐标系xy有以下的关系:

d\theta = \frac{1}{r^2} \left( x\,dy - y\,dx \right)\quad ,其中r^2 = x^2 + y^2.

根据微积分基本定理θ的总变化等于积分。因此,我们可以把可微曲线的卷绕数表示为一个曲线积分

卷绕数 = \frac{1}{2\pi} \oint_C \,\frac{x}{r^2}\,dy - \frac{y}{r^2}
\,dx.

复分析[编辑]

复分析中,闭曲线C的卷绕数可以表示为复数坐标z = x + iy。特别地,如果我们记z = re,那么:

dz = e^{i\theta} dr + ire^{i\theta} d\theta\!\,

因此:

\frac{dz}{z} \;=\; \frac{dr}{r} + i\,d\theta \;=\; d[ \ln r ] + i\,d\theta.

ln(r)的总变化是零,因此dz ⁄ z的积分等于i乘以θ的总变化。所以:

卷绕数 = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z}.

更加一般地,C关于任何复数a的卷绕数由以下的公式给出:

\frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z - a}.

这是柯西积分公式的一个特例。卷绕数在复分析中扮演了一个十分重要的角色(例如在留数定理的表述中)。

回转数[编辑]

我们也可以考虑曲线关于它本身的卷绕数(又称为回转数 turning number),也就是曲线的切向量旋转的次数。在右面的图中,曲线的回转数是4(或−4),那个小的回路也计算在内。这只对可微且光滑的曲线才有定义。参见:回转切线定理

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Krantz, S. G. "The Index or Winding Number of a Curve about a Point." §4.4.4 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 49-50, 1999.

外部链接[编辑]