反函数及其微分

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公式:

例如任意的 :

在数学中,对函数 进行逆运算的功能,在某种程度上,"抵消" 的作用 (准确定义请参阅反函数)。的反函数记作y = f(x)x = f −1(y)所表示含义相同。

它们的两个导数(假设存在),是可逆的,正如莱布尼兹符号所示

链式规则的直接结果,因为

相对于 的导数为1。

使用拉格朗日记法明确表达 的依赖关系和微分。反函数的导数为

该表述等价于

其中 表示一元微分算子 (在函数的空间上), 表示二元复合算子。

几何上,函数和反函数有关于直线 y = x.镜像的图像, 这种映射将任何线的斜率变成其倒数

假设 的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零,则它的反函数保证在 x 处是可微的, 并有上述公式给出的导数。

反函数举例[编辑]

  • ( 为正)具有逆 中。

但是,在 x = 0有一个问题:平方根函数图像变为垂直的,相对应平方函数的水平切线。

  • ( 为实数)具有逆 ( 为正值)

其他属性[编辑]

  • 对反函数积分
这仅在积分存在的情况下适用。特别地,需要在整个积分范围内非零
因此,具有连续导数的函数在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的,则不成立。

高阶导数[编辑]

上面给出的链式法则是通过对等式关于微分得到的。对于更高阶的导数,我们可以继续同样的过程。对恒等式对求导两次,得到

使用链式法则进一步简化为

用之前得到的恒等式替换一阶导数,我们得到

对三阶导数类似:

或者用二阶导数的公式,

这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果是互逆的,则

反函数的微分举例[编辑]

  • 有逆运算。 使用反函数的二次导数公式,

于是,

,

与直接计算相同。

外部链接[编辑]