反函數

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

在數學裡，反函數，也称为逆函数（英語：Inverse function），為對一個定函數做逆運算的函數。

定义[编辑]

設 $f$ 為一函數，其定義域為 $X$ ，值域為 $Y$ 。如果存在一函數 $g$ ，其定義域和值域分別為 $Y,\,X$ ，並對每一 $x\in X$ 有： $g(f(x))=x\,$ 則稱 $g$ 為 $f$ 的反函數，記之為 $f^{-1}$ 。^{[註 1]}

例如，若給定一函數 $f:x\mapsto 3x+2$ ，則其反函數為 $f^{-1}:x\mapsto {\frac {x-2}{3}}$ 。若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的。

一般而言，當 $f(x)$ 為一任意函數，且 $g$ 為其反函數，則 $g(f(x))=x$ ， $f(g(y))=y$ 。換句話說，反函數撤销了原函數的运算。

在上述例子，可以證明 $f^{-1}$ 確為反函數，以將 ${\frac {x-2}{3}}$ 代入 $f$ 的方式，如此

3\times {\frac {x-2}{3}}+2=x

。

類似地，也可以將 $f$ 代入 $f^{-1}$ 來證明。

確實， $f$ 的反函數 $g$ 的一等價定義，就是 $g\circ f$ 為於 $f$ 定義域上的恆等函數，且 $f\circ g$ 為 $f$ 值域上的恆等函數。 ^{[註 2]}

如果一函數 $f$ 有反函數， $f$ 必須是一雙射函數，即：

不然將沒有辦法對某些元素定義 $f$ 的反函數。

設 $f$ 為一实函数。若 $f$ 有一反函數，它必通過水平線測試，即一放在 $f$ 圖上的水平線 $y=k$ 必對所有實數 $k$ ，至多通過一次。換言之，當 $k$ 位於 $f$ 的值域時， $y=k$ 恰好通過f圖一次。