反函數

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

在數學裡，反函數為對一給定函數做逆運算的函數。更正式些地說，設 $f$ 為一函數，其定義域為 $X$ ，值域為 $Y$ 。如果存在一函數 $g$ ，其定義域和值域分別為 $Y,\,X$ ，並對每一 $x\in X$ 有：

g(f(x))=x\,

則稱 $g$ 為 $f$ 的反函數，記之為 $f^{-1}$ 。注意上標「−1」指的並不是冪，跟在三角學裡特指 $\sin x$ 平方的 $\sin ^{2}x$ 不同。

例如，若給定一函數 $f:x\mapsto 3x+2$ ，則其反函數為 $f^{-1}:x\mapsto {\frac {x-2}{3}}$ 。

若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的。

簡單規則[编辑]

一般而言，當f(x)為一任意函數，且g為其反函數，則g(f(x)) = x，f(g(y)) = y。換句話說，一反函數會取消原函數的作用。在上述例子，可以證明f⁻¹確為反函數，以將 ${\frac {x-2}{3}}$ 代入f的方式，如此

3\times {\frac {x-2}{3}}+2=x

。

類似地，也可以將f代入f⁻¹來證明。

確實，f的反函數g的一等價定義，就是g o f為於f定義域上的恆等函數，且f o g為f值域上的恆等函數。（其中的"o"表示函數複合）

如果一函數f有反函數，f必須是一雙射函數，即：

不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數。

設f為一实函数。若f有一反函數，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線 $y=k$ 必對所有實數k，至多通過一次。換言之，當k位於f的值域時， $y=k$ 恰好通過f圖一次。