
反函數
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此條目没有列出任何参考或来源。 (2014年10月29日) |

函数ƒ和它的反函数ƒ–1。由于ƒ把a映射到3,因此反函数ƒ–1把3映射回到a。
在數學裡,反函數,也称为逆函数(英語:Inverse function),為對一個定函數做逆運算的函數。
定义[编辑]
設為一函數,其定義域為,值域為。如果存在一函數,其定義域和值域分別為,並對每一有: 則稱為的反函數,記之為。[註 1]
例如,若給定一函數,則其反函數為。 若一函數有反函數,此函數便稱為可逆的。
簡單規則[编辑]
一般而言,當為一任意函數,且為其反函數,則,。換句話說,反函數撤销了原函數的运算。
在上述例子,可以證明確為反函數,以將代入的方式,如此
- 。
類似地,也可以將代入來證明。
確實,的反函數的一等價定義,就是為於定義域上的恆等函數,且為值域上的恆等函數。 [註 2]
存在性[编辑]
如果一函數有反函數,必須是一雙射函數,即:
不然將沒有辦法對某些元素定義的反函數。
設為一实函数。若有一反函數,它必通過水平線測試,即一放在圖上的水平線必對所有實數,至多通過一次。換言之,當位於的值域時,恰好通過f圖一次。
性質[编辑]
- 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
- 原函数与其反函数的函数图像关于函数的图像对称。
- 严格单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
- 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数,例如