反对称关系

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数学上,若对所有的 ab 属于 X,下述語句保持有效,則集合 X 上的二元关系 R反对称的:「若对所有的 ab 属于 X,若 a 关系到 bb 关系到 a,则 a = b。」

数学上表示为:

严格不等是反对称的;实际上 a < bb < a 是不可能的,因此严格不等的反对称性是一種空虛的真(vacuously true)。

注意,反对称关系不是对称关系aRb 得到 bRa)的反义。有些关系既是对称的又是反对称的,比如"等于"(证明:a=b推出b=a;a=b且b=a推出a=b);有些关系既不是对称的也不是反对称的,比如"爱上……"(证明:a爱b不能推出b爱a;a爱b且b爱a不能推出a和b是同一个人);有些关系是对称的但不是反对称的,比如"和…结婚"(证明:a和b结婚推出b和a结婚;a和b结婚且b和a结婚不能推出a和b是同一个人);有些关系不是对称的但是反对称的,比如正整数的"整除"(证明:3整除6不能推出6整除3;a整除b,即b=ma,m为正整数,且b整除a,即a=nb,n为正整数,则b=ma=mnb,则mn=1且m,n为正整数,则m=n=1,即a=b)。

满足传递性自反性的反对称关系称为偏序关系

参见[编辑]

非对称关系