古埃及分數

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古埃及分數是不同的單位分數的和,就是分子為1,分母為各不相同的正整數。任何正有理數都能表達成這一個形式。

構造方法[编辑]

古埃及分數的表達形式不是唯一的,還未找到一個算法總是給出最短的形式。

貪婪演算法[编辑]

贪婪算法:将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少,称为第一种好算法;最大的分母数值最小,称为第二种好算法。 例如:

\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}  。共2项,是第一种好算法,比\frac{2}{7} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} + \frac{1}{28} 的项数要少。

又例如, \frac{5}{121} = \frac{1}{33} + \frac{1}{121} + \frac{1}{363} \frac{5}{121} = \frac{1}{25} + \frac{1}{759} + \frac{1}{208725} 的最大分母要小,所以是第二种好算法。

  1. 找出僅小於r = \frac{a}{b}的最大單位分數。這個分數的分母的計算方法是:即用b除以a,捨去餘數,再加1。(如果沒有餘數,則r已是單位分數。)
  2. 把r減去單位分數,以這個新的、更小的r重複步驟1。

例子:把\frac{19}{20}轉成單位分數。

  • \lfloor 20 \div 19\rfloor = 1,所以第1個單位分數是\frac{1}{2}
  • \frac{19}{20} - \frac{1}{2} = \frac{9}{20}
  • \lfloor 20 \div 9\rfloor = 2,所以第2個單位分數是\frac{1}{3}
  • \frac{9}{20} - \frac{1}{3} = \frac{7}{60}
  • \lfloor 60 \div 7\rfloor = 8,所以第3個單位分數是\frac{1}{9}
  • \frac{7}{60} - \frac{1}{9} = \frac{1}{180}已是單位分數。

所以結果是:

\frac{19}{20} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{180}

詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特斐波那契都提出過以上的方法。

Golomb算法[编辑]

這個算法是基於貝祖等式的:當a,b互質,ax - by = 1有無窮多對正整數解(x,y)。

選取最小的正整數解(m,n)。取單位分數分母為bm,重複步驟。

\frac{7}{10}為例:

  • 7 \times 3- 10 \times 2 = 1 ,所以第1個單位分數是\frac{1}{30}
  • 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1,所以第2個單位分數是\frac{1}{6}
  • 第3個單位分數是\frac{1}{2}

二進制[编辑]

最基本的方法就是將分數寫成二進制數,便能將該分數寫成分母為二的冪的單位分數之和。

換個說法就是重複求最小的正整數n使得\frac{x}{y}>\frac{1}{2^n}

這個方法的效率很低。

一個改善之道是選取正整數n使得(2^n \times x) \bmod y < 2^{n+1}。選取適當的正整數r,sr < y)使得2^n \times x=sy+r\frac{x}{y} = \frac{s}{2^n} + \frac{r}{2^n \times y}。將\frac{s}{2^n} , \frac{r}{2^n}寫成二進制數。

例如: \frac{18}{23}

  • (4 \times 18) \bmod 23 < 84 \times 18 = 23 \times 3 + 3
  • \frac{18}{23} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4 \times 23}
  • \frac{3}{4} = 0.11 = 1/2+1/4
  • \frac{18}{23} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \times 23} + \frac{1}{4 \times 23}

分拆[编辑]

將一個分數表示成未必相異的單位分數之和。若有兩個單位分數相同,可以用以下其中一種處理方式:

  1. 若它們的分母是雙數,便用它們的和取代;若它們的分母是單數,設它們的分母為2k-1,用\frac{1}{k}+\frac{1}{(2k-1)k}取代。
  2. 設它們的分母為p,用\frac{1}{p}+\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)p}取代。

或是\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}←n可等於任意正整數

1/n表示成为一个级数形式:

\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+\frac{1}{(n+1)^{4}}+...+\frac{1}{(n+1)^{k}}+\frac{1}{n(n+1)^{k}}


Engel展開式[编辑]

歷史[编辑]

數學史家有時論述代數的發展分為三個基本階段:

  1. 文字代數:其問題以古代數學家所用的文字表述;
  2. 省文代數:簡化問題中一些字詞,以幫助理解;
  3. 符號代數:以符號代表運算符和運算元,使更容易理解。

未知數以符號形式通常記為。我們從古埃及文稿得知,埃及祭司和書記採用文字代數的方式,以一個解為「堆」或「集」的字「阿哈」來表示未知數。

這是現存在倫敦的大英博物館萊因德數學紙草書第二中間期)所載,其中一個阿哈問題的翻譯:

「問題24: 一個數量和它的\frac{1}{7}加起來是19。這數量是什麼?」

「假設是7。7和7的\frac{1}{7}是8。8要乘上多少倍以得到19,7也要乘上這樣多倍以得到所要的數量。」

以現在的符號形式,x + \frac{x}{7} = \frac{8x}{7} = 19,故此{x}= \frac{133}{8}。檢查: \frac{133}{8} + \frac{133}{7 \times 8} =  \frac{133}{8} + \frac{19}{8} =  \frac{152}{8} = 19

注意問題中的分數。古埃及人以單位分數計算,如\frac{1}{2}, \frac{1}{3} ,\frac{1}{4}, \frac{1}{10}

一個形狀如開口的象形文字是表記分數的符號,這「開口」下有象形文字的數字就是分數的分母。

参考资料[编辑]

外部链接[编辑]

参见[编辑]