可分離變數的偏微分方程

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可分離變數的偏微分方程(PDE)是指一種偏微分方程,在求解時可以用分離變數法分離為一組階數較低的微分方程。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是對稱。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題,若可以簡化為一維的問題,甚至可以用變成常微分方程

分離變數法最常見的形式是其解可以假設為幾個函數的積,而每個函數只有一個自變數。例如給予一個 元函數 偏微分方程,猜想解答的形式為

這是一種特別的分離變數法,稱為-分離變數法,此方式是將解寫成和座標有關的固定函數,以及以各座標為自變數函數的乘積。上的拉普拉斯方程是一個可以用-分離變數法求解的偏微分方程的例子,在三維空間下會用六維球面座標轉換英语6-sphere coordinates來求解。

偏微分方程的分離變數法和常微分方程的分離變數法不同,後者是指問題可以變成二個積分相等的形式。

範例[编辑]

例如,考慮時變的薛丁格方程

針對函數(為簡化問題,其為無因次量)(等效的作法是考慮非齊次的亥姆霍兹方程)。若三維函數形式如下

則此問題可以分解為三個一維的常微分方程,函數分別是,最後的解可以寫成。(薛丁格方程中可以分離變數求解的例子已由艾森哈特(Eisenhart)在1948年列舉[1])。

參考資料[编辑]

  1. ^ L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).