可微函数

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一个可微函数的图像

微积分学中,可微函数是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此,可微函数的图像是相对光滑的,没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

一般来说,若X0是函数ƒ定义域上的一点,且ƒ′(X0)有定义,则称ƒ在X0点可微。这就是说ƒ的图像在(X0, ƒ(X0))点有非垂直切线,且该点不是间断点、尖点。

可微性与连续性[编辑]

魏尔斯特拉斯函数连续,但在任一点都不可微

若ƒ在X0点可微,则ƒ在该点必连续。特别的,所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立:一个连续函数未必可微。比如,一个有拐点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的,但在异常点不可微。

实践中运用的函数大多在所有点可微,或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数[1]这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数

参考资料[编辑]

  1. ^ Banach, S. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 1931, (3): 174–179. . Cited by Hewitt, E and Stromberg, K. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1963: Theorem 17.8.