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可觀察量

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斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,分裂成兩道銀原子束,一道銀原子束的為上旋,另一道銀原子束的為下旋。在這裏,是可觀察量。

物理學裏,特別是在量子力學裏,處於某種狀態的物理系統,它所具有的一些性質,可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質,稱為可觀察量observable)。例如,物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統,然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏,任何可以用實驗測量獲得的可觀察量,都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏,物理系統的狀態稱為量子態,其與可觀察量的關係更加微妙,必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述,量子態可以用存在於希爾伯特空間態向量來代表,量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

數學表述[编辑]

本徵態[编辑]

假設,物理量是某量子系統的可觀察量,其對應的量子算符,可能有很多不同的本徵值與對應的本徵態,這些本徵態,形成了具有正交歸一性基底[1]:96-99

其中,克羅內克函數

任何描述這量子系統的量子態,都可以用這基底的本徵態表示為

其中,是複係數,是在量子態裏找到量子態機率幅[2]:50

假設,量子態等於這些本徵態之中的一個本徵態,則對於這量子系統,測量可觀察量,得到的結果必定等與本徵值,機率為1,量子態是「確定態」。

統計詮釋[编辑]

根據統計詮釋,對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值,測量結果只能是其中一個本徵值,而且,每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態,並且,在之後短暫片刻內,量子系統的量子態仍舊是這本徵態。[1]:106-109

假設,某量子系統的量子態為

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態,則改變為這本徵態的機率為,測量結果是本徵值,得到這本徵值的機率也為。在測量之後短暫片刻內,量子系統的量子態仍舊是本徵態

將算符作用於量子態,會形成新量子態

從左邊乘以量子態,經過一番運算,可以得到

所以,每一個本徵值與其機率的乘積,所有乘積的代數和就是可觀察量期望值

厄米算符[编辑]

每一種經過測量而得到的物理量都是實數,因此,可觀察量的期望值是實數:

對於任意量子態,這關係都成立:

根據伴隨算符的定義,假設的伴隨算符,則。因此,

這正是厄米算符的定義。所以,表現可觀察量的算符,都是厄米算符。[1]:96-99

不相容可觀察量[编辑]

假若兩種可觀察量的對易算符不等於0,則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」:[1]:110-112

其中,分別是可觀察量的算符。

這兩種算符絕對不會有共同的基底。一般而言,的本徵態與的本徵態不同[註 1]假設量子系統的量子態為。對於算符,所有本徵值為的本徵態,形成一個基底。量子態可以表示為這組基底本徵態的線性組合

其中,是複係數,是在量子態裏找到量子態機率幅[2]:50

對於算符,所有本徵值為的本徵態,形成了另外一個基底。量子態可以表示為這組基底本徵態的線性組合

其中,是複係數,是在量子態裏找到量子態機率幅[2]:50

對於量子系統的可觀察量做測量,可能得到的結果是各種本徵態的本徵值,獲得這些不同結果的機會具有機率性,可以表達為機率分佈,結果為的機率是

假設測量的結果是本徵值,則可以推斷,在測量之後短暫片刻內,量子態是本徵態。假若立刻再測量可觀察量,由於量子態仍舊是本徵態,所得到的測量值是本徵值機率為1。假若立刻再對本徵態測量可觀察量,則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值,則可以推斷,在測量之後短暫片刻內,量子態是本徵態

根據不確定性原理

設定。假設,是兩個不相容可觀察量,則。而的不確定性與的不確定性的乘積,必定大於或等於

實例[编辑]

為了具體計算位置與動量的期望值,可以將量子態表現於位置空間,以位置空間的波函數來表示,使用對應的代數算符。

位置與動量[编辑]

位置,動量都是可觀察量,它們的算符都是厄米算符:

角動量[编辑]

在三維空間裏,角動量算符的x-分量是厄米算符。因為

其中,分別是位置的y-分量與z-分量,分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地,角動量算符的y-分量也是厄米算符。

參閱[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 通常這句話成立,但也存在有例外。思考氫原子角量子數為零()的量子態,它是的本徵態,本徵值都為零,而這三個自伴算符都互不對易,它們對應的可觀察量彼此之間都是不相容可觀察量。[3]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  3. ^ A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 452–453, 1978, ISBN 0-393-09106-0 请检查|isbn=值 (帮助) (英语)