可除群

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群論中,一個可除群是一個滿足以下條件的阿貝爾群 :對每個正整數 及元素 ,存在 使得 。等價的表法是:。事實上,可除群恰好是 上的內射模,所以有時也稱之為內射群

例子[编辑]

  • 有理數 對加法構成可除群。
  • 一般而言,任何 -向量空間對加法都構成可除群。
  • 可除群的商群仍可除,如
  • p-Prüfer 群 是可除群
  • 模型論中,任何存在性封閉的群皆可解。

可除群結構定理[编辑]

為可解群,則其撓子群 亦可除。由於可解群是 -內射模 是直和項,即:

商群 亦可解,而且其中沒有撓元,所以它是 -上的向量空間:存在集合 使得

撓子群的結構稍複雜,然而可以證明對所有素數 ,存在 使得

其中 是的 -準素部分。於是:

推廣[编辑]

一個 上的左可除模是滿足 的模 。可除群不外是可除 -模。主理想域上的可除模恰好是內射模