可除群

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

群論中,一個可除群是一個滿足以下條件的阿貝爾群 G:對每個正整數 n 及元素 g \in G,存在 h \in G 使得 nh = g。等價的表法是:\forall n>0, \; nG=G。事實上,可除群恰好是 \Z 上的內射模,所以有時也稱之為內射群

例子[编辑]

可除群結構定理[编辑]

G 為可解群,則其撓子群 \mathrm{Tor}(G) 亦可除。由於可解群是 \Z-內射模\mathrm{Tor}(G) 是直和項,即:

G = \mathrm{Tor}(G) \oplus  G/\mathrm{Tor}(G).

商群 G/\mathrm{Tor}(G) 亦可解,而且其中沒有撓元,所以它是 \mathbb{Q}-上的向量空間:存在集合 I 使得

G/\mathrm{Tor}(G) = \oplus_{i \in I} \mathbb Q = \mathbb Q^{(I)}.

撓子群的結構稍複雜,然而可以證明對所有素數 p,存在 I_p 使得

(\mathrm{Tor}(G))_p = \oplus_{i \in I_p} \mathbb Z[p^\infty] = \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)},

其中 \mathrm{Tor}(G))_p\mathrm{Tor}(G) 是的 p-準素部分。於是:

G = (\oplus_P \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)}) \oplus \mathbb Q^{(I)}.

推廣[编辑]

一個 R 上的左可除模是滿足 \forall r \neq 0 \in R, \; rM=M 的模 M。可除群不外是可除 \Z-模。主理想域上的可除模恰好是內射模