# 叶状结构

## 叶状图与图册

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的邻域是形式为${\displaystyle B=J_{1}\times \cdots \times J_{n}}$子集，其中${\displaystyle J_{i}}$是第i个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若${\displaystyle J_{1}}$具有形式${\displaystyle (a,\ 0]}$，则称B具有边界[6]

${\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}$

n-流形M上余维为q的叶状图（foliated chart）是${\displaystyle (U,\ \varphi )}$，其中${\displaystyle U\subset M}$是开集，${\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }}$微分同胚${\displaystyle B_{\pitchfork }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$中的矩邻域，${\displaystyle B_{\tau }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$中的矩邻域。集合${\displaystyle P_{y}=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times \{y\})}$，其中${\displaystyle y\in B_{\pitchfork }}$称作这叶状图的斑（plaque）。${\displaystyle \forall x\in B_{\tau }}$，集合${\displaystyle S_{x}=\varphi _{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork })}$称作叶状图的横截（transversal）。集合${\displaystyle \partial _{\tau }U=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times (\partial B_{\pitchfork }))}$称作U的切边界（tangential boundary），${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B_{\tau })\times B_{\pitchfork })}$称作U的横截边界（transverse boundary）。[7]

n-流形M上余维为q${\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )}$叶状图册（foliated atlas）是余维为q的叶状图的${\displaystyle C^{r}}$-图册${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}}$，只要PQ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$的不同图中都是斑，PQPQ中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。[8]

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },}$
${\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.}$

${\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })}$常写作${\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })}$，其中[9]

${\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),}$
${\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$上，坐标公式可改写为[9]

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).}$

${\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }),\ (U_{\beta },\ x_{\beta },\ y_{\beta })}$是相干叶状结构这一条件意味着，若${\displaystyle P\subset U_{\alpha }}$是斑，则${\displaystyle P\cap U_{\beta }}$的连通分量位于${\displaystyle U_{\beta }}$的（可能不同的）斑中。等价地，由于${\displaystyle U_{\alpha },\ U_{\beta }}$的斑分别是横坐标${\displaystyle y_{\alpha },\ y_{\beta }}$的水平集，${\displaystyle \forall z\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$都有邻域，其中公式

${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })}$

${\displaystyle x_{\beta }}$无关。[9]

${\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}$是叶状${\displaystyle C^{r}}$图册，则M上两具有相同余维和光滑度的${\displaystyle C^{r}}$类叶状图册${\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}$是相干的：${\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}$。叶状图册的相干是等价关系。[9]

1. ${\displaystyle \forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}_{\alpha }}$是叶状图${\displaystyle (W_{\alpha },\ \psi _{\alpha })}$的紧子集，且${\displaystyle \varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }|U_{\alpha }}$
2. 覆盖${\displaystyle \{U_{\alpha }|\alpha \in A\}}$是局部有限的；
3. ${\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha }),\ (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })}$都是叶状图册的元素，则每个闭斑${\displaystyle P\subset {\overline {U}}_{\alpha }}$的内部与最多与${\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }}$中的1个斑相遇。[11]

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)}$

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).}$

${\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),}$
${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.}$

## 叶状结构的定义

${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}}$

${\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))}$

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}

r = 0的情形比较特殊。实践中出现的${\displaystyle C^{0}}$叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说，是以下意义的${\displaystyle C^{r,\ 0}}$类：

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).}$

## 完整性

${\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})}$是叶状流形（foliated manifold）。设L${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的叶，sL中的路径，我们感兴趣的是Ms的邻域中叶状结构的行为。直观地说，在叶上可以沿路径s行走，同时关注附近所有叶。在他（以下写作s(t)）行走时，一些叶可能会“掉落”、变得不可见；另一些可能会突然进入可视范围，渐渐接近L；还有些可能会以接近平行的方式跟随L，或垂直地打转之类。若s是环路，则随着t增大，s(t)会反复回到同一个点s(t0)，每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化，叫做叶状结构的完整性（holonomy）。

### 叶状丛

“第一回归映射”来自动力系统理论。令${\displaystyle \Phi _{t}}$是紧n-流形上的非奇异${\displaystyle C^{r}\ (r\geq 1)}$流。应用中，可以想象M是个回旋加速器或流体的闭合回路。若M有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation）${\displaystyle {\mathcal {F}}}$有向。假设流有全局横截面N，即NM的n-1维紧正合嵌入的${\displaystyle C^{r}}$子流形，叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$垂直于N，每条流线都与N相遇。由于N的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

${\displaystyle y\in N}$，考虑M中所有序列${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$的所有堆积点的ω-极限集合ω(y)，其中${\displaystyle t_{k}}$为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$则有值${\displaystyle t^{*}\in \mathbb {R} }$使得${\displaystyle \Phi _{t^{*}}(z)\in N}$，由此可得

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

${\displaystyle y\in N}$变化，令${\displaystyle \tau (y)=\tau _{1}(y)}$，这样定义一个正函数${\displaystyle \tau \in C^{r}(N)}$（第一回归时间），使得${\displaystyle \forall y\in N,\ \Phi _{t}(y)\notin N,\ 0

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\ \forall (t,\ y)\in \mathbb {R} \times N,\ k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)).}$

f的映射圆柱定义为${\displaystyle C^{r}}$流形

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}$

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

${\displaystyle x_{0}\in S^{1}}$的等价类${\displaystyle 0+\mathbb {Z} }$为基点，${\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})}$就是原横截面N。对${\displaystyle S^{1}}$上以${\displaystyle x_{0}}$为基点的每个环路s，同伦类${\displaystyle [s]\in \pi _{1}(S^{1},\ x_{0})}$的唯一特征是${\displaystyle {\rm {deg}}s\in \mathbb {Z} }$。环路s提升到每条流线中的一条路径，很明显提升${\displaystyle s_{y}}$始于${\displaystyle y\in N}$、终于${\displaystyle f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)}$。微分同胚${\displaystyle f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)}$也用${\displaystyle h_{s}}$表示，称作环路s的总整体性。由于只取决于[s]，因此定义了同胚

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$垂直于π的纤维（可以说${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是垂直于纤维的），π到${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的每片叶L的限制是覆盖映射${\displaystyle \pi :\ L\to B}$。特别是，每条纤维${\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}(x)}$都与${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的每片叶相遇。纤维是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的横截，与流的横截完全类似。

${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}$
${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

B上有图册${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha },\ x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$，包含开连通坐标图，以及平凡化${\displaystyle \varphi _{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F}$，将${\displaystyle {\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U_{\alpha })}$带到积叶状结构。置${\displaystyle W_{\alpha }=\pi ^{-1}(U_{\alpha })}$，并记${\displaystyle \varphi _{\alpha }=(x_{\alpha },\ y_{\alpha })}$，其中（滥用符号）${\displaystyle x_{\alpha }}$表示${\displaystyle x_{\alpha }\circ \pi ,\ y_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to F}$是将${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$与规范投影${\displaystyle U_{\alpha }\times F\to F}$组合而得的浸没。

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$

## 例子

### 覆盖

${\displaystyle M\to N}$是流形间的覆盖映射，FN上的叶状结构，则其拉回到M上的叶状结构。更一般地，若映射只是分歧覆盖（分歧轨迹横截于叶状结构），则叶状结构就可以被拉回。

### 浸没

${\displaystyle M^{n}\to N^{q},\ (q\leq n)}$是流形的浸没，则据反函数定理，浸没的纤维的连通组分定义了M的余维为q的叶状结构。纤维丛是这种类型的一个例子。

${\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}$

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}$

### 里布叶状结构

${\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}$

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^{n}\times \mathbb {R} ,\ z\in \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \mathbb {Z} \backslash (D^{n}\times \mathbb {R} )}$的诱导叶状结构被称作n里布叶状结构，其叶空间不是豪斯多夫的。

### 李群

G李群H是李子群，则G就会被H陪集叶化。若HG闭合，则商空间${\displaystyle G/H}$是光滑（豪斯多夫）流形，将G转化为纤维丛，纤维H、基为${\displaystyle G/H}$。这个纤维丛实际上是的，具有结构群H

### 李群作用

G是光滑作用于流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，则G的轨道定义了M的一个叶状结构。

### 线性叶状结构与克罗内克叶状结构

${\displaystyle {\tilde {X}}}$是非奇异（即无处为零）的向量场，则${\displaystyle {\tilde {X}}}$定义的局部流拼凑在一起，就定义了维度为1的叶状结构。事实上，给定任一点${\displaystyle x\in M}$，由于${\displaystyle {\tilde {X}}}$是非奇异的，所以可找到一个关于x的坐标邻域${\displaystyle (U,\ x^{1},\ ,\ldots ,\ x^{n})}$，使得

${\displaystyle -\varepsilon
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.}$

${\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}$

${\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中所有平移都不变，因此当投影到环面${\displaystyle T^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$时传递到良定义向量场X。假定a ≠ 0。${\displaystyle {\tilde {X}}}$产生的${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上的叶状结构${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$的叶具有斜率为${\displaystyle \theta =b/a}$的平行线，这叶状结构在平移下也是不变的，并传递到X产生的${\displaystyle T^{2}}$上的叶状结构${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$每片叶的形式是

${\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.}$

### 纬悬叶状结构

${\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}$

${\displaystyle M=S^{1}\times _{f}X=[0,\ 1]\times X}$

${\displaystyle O_{x_{0}}=\{\ldots ,\ f^{-2}(x_{0}),\ f^{-1}(x_{0}),\ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^{2}(x_{0}),\ \ldots \}}$

2-环面的克罗内克叶状结构是旋转${\displaystyle R_{\alpha }:\ S^{1}\to S^{1}}$（角度为${\displaystyle \alpha \in [0,\ 2\pi )}$）的纬悬叶状结构。

${\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.}$

${\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},}$

${\displaystyle \forall z\in C_{1},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{1}(g(y_{0})))}$
${\displaystyle \forall z\in C_{2},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{2}(g(y_{0})))}$

## 叶状结构的存在

Haefliger (1970)给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。Thurston （1974, 1976证明，任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。

## 脚注

1. ^
2. ^ Anosov 2001
3. ^ Gourgoulhon 2012，第56頁
4. ^ Reeb, G. Remarques sur les structures feuilletées (PDF). Bull. Soc. Math. France. 1959, 87: 445–450 [2024-01-05]. Zbl 0122.41603. . （原始内容存档 (PDF)于2024-01-05）.
5. Lawson 1974
6. ^ Candel & Conlon 2000，第19頁
7. Candel & Conlon 2000，第20頁
8. ^ Candel & Conlon 2000，第23頁
9. Candel & Conlon 2000，第25頁
10. Candel & Conlon 2000，第26頁
11. Candel & Conlon 2000，第27頁
12. ^ Candel & Conlon 2000，第28頁
13. Candel & Conlon 2000，第29頁
14. Candel & Conlon 2000，第31頁
15. ^ Candel & Conlon 2000，第32頁
16. ^ Durfee, A.H. Foliations of Odd-Dimensional Spheres. Annals of Mathematics. Second Series. 1972, 96 (2): 407–411. JSTOR 1970795. doi:10.2307/1970795.