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同倫

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图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。

同伦(英語:homotopic,源自希臘語ὁμός homós,意为“相同,相似的”与希臘語τόπος tópos,意为“方位”)。在數學中,同倫的概念在拓撲上描述了兩個對象間的「連續變化」。 在拓扑学中,两个定义在拓扑空间之间的连续函数,如果其中一个能“连续地形变”为另一个,则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群上同伦群英语Cohomotopy group的定义,它们是代数拓扑中重要的不变量英语Invariant (mathematics)

事实上,在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间CW复形英语Spectrum_(topology)

定义[编辑]

两个将环面映射到R3嵌入之间的同伦:“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。

給定兩個拓撲空間 。考慮兩個連續函數 ,若存在一個定义在空间 X单位区间 [0,1] 的积空间上的連續映射 使得:

則稱之间的一个同倫[1]:183

如果我们将 H 的第二个参数当作时间,这样 H 相当于描述了一个从 fg连续形变:0 时刻我们得到函数f,1 时刻我们得到函数 g。 我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”,当控制条从0滑动至1时,函数 f 平滑地转变为函数 g,反之亦然。

另一種觀點是:對每個,函數 定義一條連接 的路徑:

右侧的循环动画展示了两个嵌入R3中的环面之间的同伦。X 是环面,YR3f,g 是从环面到 R3的连续函数,当动画开始时,f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中,时间 t 从 0 变成 1,暂停一会,又从 1 变成 0。

性质[编辑]

当且仅当存在同伦 Hf 变换为 g时,称连续函数 fg 是同伦的。同伦是 XY 上所有的连续函数之间的一种等价关系[1]:184。以下情形中,同伦关系满足函数的复合

如果 f1, g1 : XY 是同伦的,并且 f2, g2 : YZ 是同伦的,则他们的复合 f2f1g2g1 : XZ 也是同伦的。

例子[编辑]

例一:取 , , 。則 透過下述函數在 中同倫。

(注意到此例子不依賴於變數 ,通常並非如此。)
:「在中同倫」的說法提示一個重點:在例一中若將代為子空間,則雖然仍取值在,但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。


例二:取,,。则描繪一個以原點為圓心的單位圓; 停在原點。 透過下述連續函數同倫:

幾何上來看,對每個值,函數描繪一個以原點為圓心,半徑 的圓。

相對同倫[编辑]

為定義高階基本群,必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化,正式定義是:設是連續函數,固定子空間 ;若存在前述同倫映射 ,滿足:

則稱 相對於 同倫。若取 ,則回到原先的同倫定義。

空間的同倫等價[编辑]

給定兩個拓撲空間,我們稱之同倫等價(或稱具相同倫型),当且仅当存在兩個連續映射,使得:

  • 同倫到 的恆等映射
  • 同倫到 的恆等映射

同胚蘊含同倫,反之則不然,詳見以下例子:

例三

  • 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到,即去掉一點的平面。
  • 線段、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價,它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變,包括有:單連通同調群上同調群等等。

同痕[编辑]

同痕是同倫的加細版;我們進一步要求所論的函數嵌入,並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。

定義如次:被稱為同痕的,若且唯若存在連續映射使之滿足:

  • 對所有,映射是個嵌入映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要:若兩個結同痕,則我們視之相等;換言之,可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

參見[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114.