同倫

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兩條路徑的同倫

在數學中,同倫(Homotopy)的概念在拓撲上描述了兩個對象間的「連續變化」。

函數的同倫[编辑]

給定兩個拓撲空間 。考慮兩個連續函數 ,若存在一個連續映射 使得

則稱(在裡)同倫。

換言之:每個參數對應到一個函數 ;隨著參數值從 0 到 1 變化, 連續地從 變化到

另一種觀點是:對每個,函數 定義一條連接 的路徑:

例一:取 , , 。則 透過下述函數在 中同倫。

(注意到此例子不依賴於變數 ,通常並非如此。)
:「在中同倫」的說法提示一個重點:在例一中若將代為子空間,則雖然仍取值在,但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二:取. 描繪一個以原點為圓心之單位圓; 停在原點。 透過下述連續函數同倫:

幾何上來看,對每個值,函數描繪一個以原點為圓心,半徑 的圓。

函數間的同倫是(即從 X 到 Y 全體連續函數的集合)上的等價關係。同倫的初步應用之一,是藉由環路的同倫定義何謂單連通

相對同倫[编辑]

為定義高階基本群,必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化,正式定義是:設是連續函數,固定子空間 ;若存在前述同倫映射 ,滿足:

則稱 相對於 同倫。若取 ,則回到原先的同倫定義。

空間的同倫等價[编辑]

空間的連續變化:咖啡杯與甜甜圈

給定兩個拓撲空間,我們稱之同倫等價(或稱具相同倫型),当且仅当存在兩個連續映射,使得:

  • 同倫到 的恆等映射
  • 同倫到 的恆等映射

同胚蘊含同倫,反之則不然,詳見以下例子:

例三

  • 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到,即去掉一點的平面。
  • 線段、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價,它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變,包括有:單連通同調群上同調群等等。

同痕[编辑]

同痕是同倫的加細版;我們進一步要求所論的函數同胚,並要求兩者間可用一族同胚映射相連。

定義如次:被稱為同痕的,若且唯若存在連續映射使之滿足:

  • 對所有,映射是個同胚映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要:若兩個結同痕,則我們視之相等;換言之,可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

參見[编辑]