同倫範疇

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數學拓撲學領域中,同倫範疇是處理同倫問題時格外便利的範疇論語言。它的對象是拓撲空間,態射是連續函數的同倫類,這是商範疇的一個例子;由於同倫關係在映射的合成下不變,同倫範疇的定義是明確的。所有拓撲空間構成的同倫範疇通常記為 \mathbf{hTop}\mathbf{Toph};有時也會考慮較小一類的空間,例如緊生成豪斯多夫空間CW複形

兩空間在同倫範疇中同構的充要條件是它們同倫等價

X, Y 為拓撲空間,它們在同倫範疇中的態射集記為 [X, Y]。同倫理論的基本課題之一便是研究 [X,Y],例如當 X, Y 是球面時,[X,Y] 的計算就歸結到同倫群的計算。

基點[编辑]

在應用上,我們常須考慮空間中的特定一點,稱為該空間的基點。指定了基點的拓撲空間稱為帶基點的空間。嚴格而言,同倫群(例如基本群)的定義依賴於基點,不同的選擇會差一個同構

我們可以考慮帶點空間構成的範疇,其對象為 (X,x)x \in X),態射 f: (X,x) \to (Y,y) 為滿足 f(x)=y 的連續映射。同理,可以定義帶點映射之間的同倫 h: X \times I \to Y 為滿足 h(x,t) = y 的同倫。由此得到的商範疇稱為帶點同倫範疇,常記為 \mathbf{hTop}_\bullet,態射集記為 [X,Y]_\bullet

在處理帶基點的空間時,空間的積與不交并都要作相應的改變。

同倫理論[编辑]

同倫理論中有一些適用於所有空間的一般結果,但隨著理論漸深,往往需要考慮更小的一類空間。CW複形適用於大部份的問題,它的好處之一體現於布朗表示定理,缺陷則在於CW複形之間的函數空間不一定是CW複形,針對後者,緊生成豪斯多夫空間更富彈性,它包括了所有CW複形、局部緊空間與第一可數空間(例如度量空間)。

近來同倫理論發展的一個里程碑是空間,這可以說是一種適用於拓撲學的導範疇觀念。以模型範疇的方法也可以定義譜,這推廣了拓撲空間的情形,但較為抽象。

文獻[编辑]

  • J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), The University of Chicago Press. ISBN 0-226-51183-9