同倫群

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數學中,同倫群拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一,一般空間的同倫群極難計算,即使對球面 的情形,至今也沒有完整結果。

定義[编辑]

為拓撲空間而 球面。選定基點 。定義 ,也就是由保持基點的連續映射 同倫類構成的集合。為了方便起見,以緯垂坐標表示球面上的點,即: 表示 在商映射 下的像。取 的基點為


注意到當 時, 的元素一一對應到 的連通分支。

基本群的群運算

對於 帶有自然的群結構:首先,我們構造一個連續映射:

在此 定義為將兩份 沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 定義為

直觀來看, 的效應相當於將球面 沿赤道掐扁。

給定 ,我們定義 ,由於 ,此函數有完善的定義。此外也不難驗證 僅依賴於 的同倫類。

可以證明運算 滿足公理,其單位元素為常值映射 不外就是基本群;而當 時,阿貝爾群,稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點,則得到的集合 等同於 作用下的軌道集。可見若 未必有自然的群結構。

纖維化導出長正合序列[编辑]

為保基點的塞爾纖維化,纖維的同倫類定義為 。此時可導出同倫群的長正合序列(以下略去基點):

儘管這裡的 只是個集合,而 未必是阿貝爾群,它們仍帶有特殊的元素( 的單位元、 中包含基點的連通分支),可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

相對同倫群[编辑]

給定 ,可以定義相對同倫群 為映射 的同倫類,這意味著我們僅考慮滿足 的連續映射,以及其間滿足相同限制的同倫。若取 為一點,便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

文獻[编辑]