同构基本定理

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同构基本定理或称同态基本定理,包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史[编辑]

同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群同态基本定理[编辑]

我们首先叙述群论中的同态基本定理,他们的形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同态第一基本定理[编辑]

叙述:如果f是群G到群H的一个群同态,则

数学表达

G, H 是群
f: G \to H, f 是群同态
\operatorname{Ker}(f) \triangleleft G
G/\operatorname{Ker}(f) \cong \operatorname{Im}(f)
\operatorname{Im}(f)H的子群。

群同态第二基本定理 (或称群同态第三基本定理)[编辑]

叙述:如果HK是群G的子群,HK正规化子的子群,则

  • HK乘积HKG的子群;
  • KHK的正规子群,HKH的正规子群;
  • HK/K同构于H/(HK)。

数学表达

H,KG的子群
H\operatorname{N_G}(K)的子群
HKG的子群
K \triangleleft HK
H \cap K \triangleleft H
HK/K \cong H/(H \cap K)

群同态第三基本定理 (或称群同态第二基本定理)[编辑]

叙述:如果MNG的正规子群,M属于N,那么

  • MN的正规子群;
  • N/MG/M的正规子群;
  • (G/M)/(N/M)同构于G/N

数学表达

M,N \triangleleft G
M \subseteq N
M \triangleleft N
N/M \triangleleft G/M
(G/M)/(N/M) \cong G/N

环和模上的形式[编辑]

  • 将定理中的“群”换为“R-模”,将“正规子群”换为“子模”,就得到对于确定的环R上的的同构基本定理,(因此同构基本定理对于确定的上的向量空间也成立)对于向量空间,同构第一基本定理即是秩-零化度定理
  • 将定理中的“群”换为“环”,“子群”换为“子环”,“正规子群”换为“理想”,“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
  • 与子群的乘积HK相对应的定义是子模,子环,子空间的并,用H + K而不再用HK表示。具体的定义是:
 H+K=\left\{ a+b| a \in H,b \in K \right\}

推广[编辑]

在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

A是一个代数结构,A的一个同余类A上的一个等价关系\Phi,可看作是A × A上的子代数。等价类A/\Phi的集合在定义了适合的运算法则后,便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理[编辑]

AB是两个代数结构,fAB态射,则A等价关系\Phia~b当且仅当f(a)=f(b)A上的一个同余类,并且A/\Phi同构于f的像(B的子代数)。

第二同构定理[编辑]

BA的子代数,\PhiA上的同余类。令[B]\Phi是所有包含B种元素的同余类的集合,它是A/\Phi的一个子集;\Phi_B\Phi限制在 B × B上的部分。那么[B]\PhiA/\Phi的子代数结构,\Phi_BB上的同余类,并且[B]\Phi同构于B/\Phi_B

第三同构定理[编辑]

A是一个代数结构,\Phi\PsiA上的两个同余关系,\Psi包含于\Phi。则\Phi定义了A/\Psi上的一个同余类\Theta[a]~[b]当且仅当ab关于 \Phi同余([a]表示a所在的\Psi-等价类),并且A/\Phi同构于(A/\Psi)/\Theta