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同构基本定理

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同构基本定理或称同态基本定理,包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史[编辑]

同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群同态基本定理[编辑]

我们首先叙述群论中的同态基本定理,他们的形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同構基本定理[编辑]

群同構第一定理[编辑]

給定一個群同態 f:G\to G',根據群同態第一基本定理,我們可以把G除以G,使f 變成單射

直觀來講,把一個群G除以G子群H相當於把H裡的元素看成0。把f的核除掉後,我們使得f(x)=0只在 x=0時才會成立,這是f的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構,才可以對G/\operatorname{Ker} f\to G'進行討論。


定理: 給定GG'兩個群,和f:G\rightarrow G'群同態。則\operatorname{Ker} f是一個G正規子群


證明: 記 \cdotGG'的運算符號,記ee'他們的單位元,我們可以驗證\operatorname{Ker} f 在共軛運算下封閉,即對於所有x\in G、所有h\in\operatorname{Ker} f,有x\cdot h\cdot x^{-1}\in\operatorname{Ker} f

我們有f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})。由於h\operatorname{Ker} f裡面,即f(h)=e',我們推論f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(x^{-1}) = f(x\cdot x^{-1}) = f(e) = e'。因此, x\cdot h\cdot x^{-1}\operatorname{Ker} f裡面,故\operatorname{Ker} fG的正規子群。


\operatorname{Ker} fG的正規子群的這個性質讓我們可以在商群G / \operatorname{Ker} f上定義一個與G的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故,群同態f : G \rightarrow G'誘導出群同構\widehat f : G / \operatorname{Ker} f \rightarrow  \operatorname{Im} f

我們有以下的定理:

群同構第一定理 給定GG'兩個群,f:G \rightarrow G'群同態,則f誘導出一個從G/\operatorname{Ker} f打到f(G)的群同構。


證明: 記Hf的核。我們定義\hat f\widehat f(xH) = f(x).

  • 函數\widehat f定義良好,即\widehat f(xH)只依賴於xH而與代表x的選擇無關。理由是,若y\in GxH的一個代表,即若xH=yH,則xy^{-1}\in H=\operatorname{Ker} f,所以f(x)=f(y),從而\widehat f(xH)=\widehat f(yH)
  • 由商群運算的定義,\widehat f是一個群同態。
  • 群同態\widehat f滿射:對於所有y\in f(G),存在x\in G使得f(x)=y,由此\widehat f(xH)=f(x)=y
  • 群同態\widehat f單射。理由是:考慮\widehat f的核裡的任意元素xH,則e'=\widehat f(xH)=f(x),即xf的核H裡面。又xH=HG/H的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合,以下為示意圖

交換圖

群同構第二定理[编辑]

群同構第二定理: 給定群 G 、其正規子群 N 、其子群 H ,則 N \cap HH 的正規子群,且我們有群同構如下: H/(H\cap N)\simeq HN/N

證明:

  • 必須先證明 HN 是一個正規子群、 H 是一個子群才能討論商群 HN/N

hnh'n'HN 中的兩個元素。我們有 hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n' ,其中 hh'\in H, h'^{-1}nh'\in N (因為 NG 中正規) 且 n'\in N,故 hnh'n'HN 中,其證明了 HN 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外,我們有 N\subset HN\subset G 的包含關係,並且 NG 中正規,所以也在 HN 中正規。

  • 為了建構群同構,我們將使用群同構第一定理。

j:H\hookrightarrow HN單射群同態,定義為 j(h)=h ,取標準滿射 \sigma:HN\twoheadrightarrow HN/N (值域是個群,因為 NG 中正規)。藉由複合兩個群同態,我們建構出一個新的群同態 f=\sigma\circ j:H\to HN/N 定義為 f(h)=hN

  • 群同態 f 是滿射。

理由是,設 (hn)N\in HN/N ,其中 h\in Hn\in N 。由於 nN 裡面, hnN=hN ,故hnN=f(h)

  • f 的核是 H\cap N

理由是, f(h)=hNHN/N 的單位元,即 N 若且唯若, hN 裡面。由於 h 已經在 H 裡面,所以證明這個相當於證明 hN\cap H 裡面。

  • 由群同構第一定理知 N\cap HH 的正規子群,且其誘導出的映射 \widehat f:H/(N\cap H)\to HN/N 是群同構。


如果我們弱化前提,假設 N正規化子包含 H (把相等改成包含)這個定理依然正確。

群同構第三定理[编辑]

群同構第三定理: 給定群 GNMG 的正規子群,滿足 M 包含於 N ,則 N/MG/M 的正規子群,且有如下的群同構: (G/M)/(N/M)\simeq G/N.

證明: G/M\to G/N,~gM\mapsto(gM)N=g(MN)=gN 為滿射,其核為 N/M

环和模上的形式[编辑]

  • 将定理中的“群”换为“R-模”,将“正规子群”换为“子模”,就得到对于确定的环R上的的同构基本定理,(因此同构基本定理对于确定的上的向量空间也成立)对于向量空间,同构第一基本定理即是秩-零化度定理
  • 将定理中的“群”换为“环”,“子群”换为“子环”,“正规子群”换为“理想”,“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
  • 与子群的乘积HK相对应的定义是子模,子环,子空间的并,用H + K而不再用HK表示。具体的定义是:
 H+K=\left\{ a+b| a \in H,b \in K \right\}

推广[编辑]

在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

A是一个代数结构,A的一个同余类A上的一个等价关系\Phi,可看作是A × A上的子代数。等价类A/\Phi的集合在定义了适合的运算法则后,便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理[编辑]

AB是两个代数结构,fAB态射,则A等价关系\Phia~b当且仅当f(a)=f(b)A上的一个同余类,并且A/\Phi同构于f的像(B的子代数)。

第二同构定理[编辑]

BA的子代数,\PhiA上的同余类。令[B]\Phi是所有包含B种元素的同余类的集合,它是A/\Phi的一个子集;\Phi_B\Phi限制在 B × B上的部分。那么[B]\PhiA/\Phi的子代数结构,\Phi_BB上的同余类,并且[B]\Phi同构于B/\Phi_B

第三同构定理[编辑]

A是一个代数结构,\Phi\PsiA上的两个同余关系,\Psi包含于\Phi。则\Phi定义了A/\Psi上的一个同余类\Theta[a]~[b]当且仅当ab关于 \Phi同余([a]表示a所在的\Psi-等价类),并且A/\Phi同构于(A/\Psi)/\Theta