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同构基本定理

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同构基本定理或称同态基本定理,包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史[编辑]

同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群同态基本定理[编辑]

我们首先叙述群论中的同态基本定理,他们的形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同構基本定理[编辑]

群同構第一定理[编辑]

給定一個群同態 ,根據群同態第一基本定理,我們可以把除以,使 變成單射

直觀來講,把一個群除以子群相當於把裡的元素看成0。把的核除掉後,我們使得只在 時才會成立,這是的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構,才可以對進行討論。


定理: 給定兩個群,和群同態。則是一個正規子群


證明: 記 的運算符號,記他們的單位元,我們可以驗證 在共軛運算下封閉,即對於所有、所有,有

我們有。由於裡面,即,我們推論。因此,裡面,故的正規子群。


的正規子群的這個性質讓我們可以在商群上定義一個與的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故,群同態誘導出群同構

我們有以下的定理:

群同構第一定理 給定兩個群,群同態,則誘導出一個從打到的群同構。


證明: 記的核。我們定義.

  • 函數定義良好,即只依賴於而與代表的選擇無關。理由是,若的一個代表,即若,則,所以,從而
  • 由商群運算的定義,是一個群同態。
  • 群同態滿射:對於所有,存在使得,由此
  • 群同態單射。理由是:考慮的核裡的任意元素,則,即的核裡面。又的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合,以下為示意圖

交換圖

群同構第二定理[编辑]

群同構第二定理: 給定群 、其正規子群 、其子群 ,則 的正規子群,且我們有群同構如下:

證明:

  • 必須先證明 是一個正規子群、 是一個子群才能討論商群

中的兩個元素。我們有 ,其中 , (因為 中正規) 且 ,故 中,其證明了 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外,我們有 的包含關係,並且 中正規,所以也在 中正規。

  • 為了建構群同構,我們將使用群同構第一定理。

單射群同態,定義為 ,取標準滿射 (值域是個群,因為 中正規)。藉由複合兩個群同態,我們建構出一個新的群同態 定義為

  • 群同態 是滿射。

理由是,設 ,其中 。由於 裡面, ,故

  • 的核是

理由是, 的單位元,即 若且唯若, 裡面。由於 已經在 裡面,所以證明這個相當於證明 裡面。

  • 由群同構第一定理知 的正規子群,且其誘導出的映射 是群同構。


如果我們弱化前提,假設 正規化子包含 (把相等改成包含)這個定理依然正確。

群同構第三定理[编辑]

群同構第三定理: 給定群 的正規子群,滿足 包含於 ,則 的正規子群,且有如下的群同構:

證明: 為滿射,其核為

环和模上的形式[编辑]

  • 将定理中的“群”换为“R-模”,将“正规子群”换为“子模”,就得到对于确定的环R上的的同构基本定理,(因此同构基本定理对于确定的上的向量空间也成立)对于向量空间,同构第一基本定理即是秩-零化度定理
  • 将定理中的“群”换为“环”,“子群”换为“子环”,“正规子群”换为“理想”,“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
  • 与子群的乘积HK相对应的定义是子模,子环,子空间的并,用H + K而不再用HK表示。具体的定义是:

推广[编辑]

在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

A是一个代数结构,A的一个同余类A上的一个等价关系,可看作是A × A上的子代数。等价类A/的集合在定义了适合的运算法则后,便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理[编辑]

AB是两个代数结构,fAB态射,则A等价关系a~b当且仅当f(a)=f(b)A上的一个同余类,并且A/同构于f的像(B的子代数)。

第二同构定理[编辑]

BA的子代数,A上的同余类。令[B]是所有包含B种元素的同余类的集合,它是A/的一个子集;限制在 B × B上的部分。那么[B]A/的子代数结构,B上的同余类,并且[B]同构于B/

第三同构定理[编辑]

A是一个代数结构,A上的两个同余关系,包含于。则定义了A/上的一个同余类[a]~[b]当且仅当ab关于 同余([a]表示a所在的-等价类),并且A/同构于(A/)/