向量分析

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向量微積分(Vector calculus)或向量分析(Vector Analysis)是數學的分支,關心擁有兩個維度或以上的向量的多元實分析。它有一套方程式及難題處理技巧,對物理學工程學特別有幫助。

我們考慮到向量場時把向量聯繫到空間裡的每一個點,考慮到純量場時把純量連繫到空間裡的每一個點。例如:游泳池的水溫是純量場;游泳池的水流方向是向量場

向量算子[编辑]

算子 表示 敘述 界域
梯度  \operatorname{grad}(f) = \nabla f 純量場f改變的速率與方向 純量場的梯度是向量場
旋度  \operatorname{curl}(\vec{F}) = \nabla \times \vec{F} 向量場F傾向繞著一個點旋轉的程度 向量場的旋度是向量場
(發)散度  \operatorname{div}(\vec{F}) = \nabla \cdot \vec{F} 向量場F傾向源於一點的程度 向量場的散度是純量場
拉普拉斯算子  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f 為散度與梯度算子的組成 純量場的拉普拉斯是純量場

定理[编辑]

定理 表示 註解
梯度定理線積分基本定理 \int_{L[\mathbf p \to \mathbf q] \subset \mathbb R^n} \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} = \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) L為一平滑曲線。
格林定理 \oint_{C} P\, dx + Q\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy 在封閉曲線C上所做的線積分,等於在區域D所的積分。
高斯散度定理散度基本定理 \int_V\nabla\!\cdot\!\vec{F}\,\mathrm{d}\!V=
\oint_S\vec{F}\cdot\mathrm{d}\!\vec{S}
斯托克斯定理旋度基本定理 \int_S\nabla\times\vec{F}\cdot\mathrm{d}\!\vec{S} = \oint_l\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{l}

參見[编辑]

延伸阅读[编辑]