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向量分析

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分
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提示:本条目的主题不是几何演算

向量微積分(或向量分析)是數學的分支,关注向量場微分积分,主要在3维欧几里得空间 \mathbb{R}^3 中。“向量微积分”有时用作多元微积分的代名词,其中包括向量微积分,以及偏微分多重积分等更广泛的问题。向量微积分在微分几何偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理工程中,特别是在描述 电磁场引力場和流体流动的时候。

向量微积分从四元數分析发展而来,由约西亚·吉布斯奧利弗·黑維塞近19世纪末提出,大多数符号和术语由吉布斯和黑維塞在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用叉积,不能推广到更高维度,而另一种几何代数英语Geometric algebra的方法,它利用可以推广的外积,下文将会讨论。

向量运算[编辑]

代数运算[编辑]

向量微积分中的基本代数(非微分)运算的称为向量代数,定义在一向量空间,然后应用到整个向量场,包括:

标量乘法
标量场和向量场相乘,产生向量场:a \bold{v} ;
向量加法
两个向量场相加,产生向量场:\bold{v}_1 + \bold{v}_2 ;
两个向量场相乘,产生标量场:\bold{v}_1 \cdot \bold{v}_2 ;
叉积
两个向量场相乘,产生向量场:\bold{v}_1 \times \bold{v}_2 ;

还有两个三重积

标量三重积
向量和两个向量叉积的点积: \bold{v}_1\cdot\left( \bold{v}_2\times\bold{v}_3 \right) ;
向量三重积
向量和两个向量叉积的叉积: \bold{v}_1\times\left( \bold{v}_2\times\bold{v}_3 \right)\left( \bold{v}_3\times\bold{v}_2\right)\times\bold{v}_1 ;

尽管这些不太常用作为基本运算,不過仍可以用點積及叉积表示。

微分运算[编辑]

向量微积分研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子,通常用的向量算子(∇)来表示,也被称为“Nabla算子”。向量微积分的五个最重要的微分运算:

算子 表示 敘述 界域
梯度  \operatorname{grad}(f) = \nabla f 純量場f改變的速率與方向 純量場的梯度是向量場
旋度  \operatorname{curl}(\vec{F}) = \nabla \times \vec{F} 向量場F傾向繞著一個點旋轉的程度 向量場的旋度是向量場
(發)散度  \operatorname{div}(\vec{F}) = \nabla \cdot \vec{F} 向量場F傾向源於一點的程度 向量場的散度是純量場
向量拉普拉斯算子英语Vector Laplacian \nabla^2\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}) 均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度 向量場的向量拉普拉斯是向量場
拉普拉斯算子  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f 為散度與梯度算子的組成 純量場的拉普拉斯是純量場

定理[编辑]

同样,也有几个与这几个相关的重要定理,将微积分基本定理拓展到了更高维度:

定理 表示 註解
梯度定理 \int_{L[\mathbf p \to \mathbf q] \subset \mathbb R^n} \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} = \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) 梯度(向量)场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理  \int\!\!\!\!\int_{A\,\subset\mathbb R^2} \left  (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, d\mathbf{A}=\oint_{\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right ) 平面内向量场中区域的标量旋度,等於向量场沿逆时针方向的封閉曲線的線積分。
斯托克斯定理  \int\!\!\!\!\int_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \mathbb R^3 内向量场的旋度的曲面积分,等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理 \int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_{V\,\subset\mathbb R^3}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)d\mathbf{V}=\oiint\scriptstyle \partial V\mathbf F\;\cdot{d}\mathbf S 向量场的散度对体积的积分,等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

參見[编辑]

延伸阅读[编辑]