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含時微擾理論

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量子力學裏,含時微擾理論研究一個量子系統的含時微擾所產生的效應。這理論由狄拉克首先發展成功。由於系統的含微擾哈密頓量含時間,伴隨的能級本徵態也含時間。所以,不同於不含時微擾理論,含時微擾理論解析問題的目標為:

  • 給予初始量子態,求算某個可觀測量 的含時間期望值
  • 一個量子系統的含時間量子態,仍舊是這系統的不含時零微擾哈密頓量 的本徵態的線性組合。求算這系統的量子態處於某個本徵態的機率幅

第一個結果的重要性是,它可以預測由實驗測量得到的答案。例如,思考一個氫原子電子,其所在位置的 x-坐標的期望值 ,當乘以適當的係數後,給出這電子的含時間偏振。將一個恰當的微擾(例如,一個震盪的電位)作用於氫氣,應用含時微擾理論,我們可以計算出交流電電容率。詳細內容,請參閱條目介電譜學 (dielectric spectroscopy) 。

第二個結果著眼於量子態處於每一個本徵態的機率。這機率與時間有關。在雷射物理學裏,假若我們知道這機率,我們就可以計算一個氣體,因為含時間電場的作用,處於某個量子態的機率密度函數。這機率也可以用來計算譜線的量子增寬 (quantum broadening) 。

導引[编辑]

讓我們簡略的解釋,含時微擾理論的狄拉克表述,其背後的點子。先為零微擾系統選擇一個能量本徵態的正交基 。這些本徵態與時間無關。

假若,在時間 ,零微擾系統處於本徵態 。那麼,隨著時間流逝,這系統的量子態可以表達為(採用薛丁格繪景:量子態隨著時間流逝而演化,而對應於可觀察量算符則與時間無關)

其中, 是本徵態 的能級,約化普朗克常數

現在,添加一個含時間的哈密頓量微擾 。包括微擾系統在內的哈密頓量

(1)

標記 為含微擾系統在時間 的量子態。它遵守含時薛丁格方程式:

(2)

在任何時間,量子態可以表達為本徵態的線性組合

(3)

其中,複函數,稱為幅度。在這裏,我們顯性地表示出公式右手邊的相位因子 。這只是為了便利因素。並不會因此而失去一般性。

假若系統的初始量子態是 ,而又沒有微擾作用,則幅度會有很理想的性質:隨著時間的演化,

回思公式 (3) ,幅度 的絕對平方是 在時間 處於本徵態 機率

將公式 (1) 與 (3) 代入含時薛丁格方程式 (2) ,可以得到

由於 ,這公式左手邊的 項目於右手邊的 項目相抵銷。所以,

內積於這公式兩邊,可以得到一組聯立的偏微分方程式

矩陣元素 的角色,影響到量子態的幅度改變的速率 。可是,注意到這遷移內中含有一個相位因子。經過一段超久於 的間隔時間,相位會轉繞很多圈次。

一直到此,我們尚未嘗試取近似值。所以,這一組偏微分方程式仍舊是精確的。通過給予初始值 ,原則上,我們可以找到(非微擾的)精確解。對於雙態系統,只有兩個能級 () 的量子系統,可以很容易的找到答案。而且,很多量子系統,像氨分子氫分子離子 (Hydrogen molecular ion) ,苯分子等等,都可以用雙態系統模型來分析[1]。但是對於更多能級的系統,找到精確解是非常困難的。我們只好尋找微擾解。我們可以用積分式來表達幅度:

重覆的將 的表達式代入這公式的右手邊,可以得到一個迭代解

其中,舉例而言,一階項目是

應用含時微擾理論,可以得到更多進一步的結果,像費米黃金律 (Fermi's golden rule) 或戴森級數 (Dyson series) 。費米黃金律計算,因為含時微擾,從某個能量本徵態發射至另外一個能量本徵態的躍遷率。通過應用上述迭代法於時間演化算符,可以得到戴森級數。這是費曼圖方法的起點之一。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義 III (2) 量子力學應用. 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 71–108. ISBN 986-417-672-2. 

外部連結[编辑]