和與積的問題

和與積的問題（英語：Sum and Product Puzzle）是一道邏輯謎題，又因為其題面上似乎缺乏足夠的解題信息而得名不可能的謎題（英語：The Impossible Puzzle）。該謎題由漢斯·弗賴登塔爾得於1969年首次發表，而別名「不可能的謎題」則由馬丁·加德納所提出。儘管略顯困難，此謎題仍然是可解的，並有很多與之類似的謎題。

簡介

謎題

此謎題有許多版本，以下為最原始的版本：

已知$x$和$y$是兩個大於1的整數，滿足$x$小于$y$，而兩數之和不大於100（即$x,y\in \mathbb {Z}$，$1<x<y$，$x+y\leq 100$）。

S和P則是兩位邏輯非常好的數學家。另外，S知道兩數之和$x+y$，P則知道兩數之積$xy$。兩人都知道上述資訊後，對話如下：

• S先說：「P不知道$x$和$y$的值。」
• P回復：「現在我知道$x$和$y$的值了。」
• S再說：「現在我也知道$x$和$y$的值了。」

請問$x$和$y$兩數分別為多少？

謎底

P知道的乘積為52，S知道的和為17，換句話說，$(x,y)=(4,13)$。

解析

數學家視角

以下將按對話順序分析數學家P和S的想法：

獲取資訊後

P：已知積 $p=52$，$(x,y)$可能為$(2,26)$或$(4,13)$，因此不知兩數具體為何。

S：已知和 $s=17$，$(x,y)$可能的情況如下：

可能的 $(x,y)$ 組合	乘積 $p$	只考慮乘積時可能的解 $(x,y)$
$(2,15)$	$30$	$(2,15)$、$(3,10)$、$(5,6)$
$(3,14)$	$42$	$(2,21)$、$(3,14)$、$(6,7)$
$(4,13)$	$52$	$(2,26)$、$(4,13)$
$(5,12)$	$60$	$(2,30)$、$(3,20)$、$(4,15)$、$(5,12)$、$(6,10)$
$(6,11)$	$66$	$(2,33)$、$(3,22)$、$(6,11)$
$(7,10)$	$70$	$(2,35)$、$(5,14)$、$(7,10)$
$(8,9)$	$72$	$(2,36)$、$(3,24)$、$(4,18)$、$(6,12)$、$(8,9)$

由上表可知，在所有S認為可能的乘積$p$下，P皆不能確定兩數具體為何，因而說出：「P不知道$x$和$y$的值」。

S第一句話後

P：若S能斷言自己（P）不知道兩數，則S手中的$s$對應的所有可能乘積，均可引出超過一組可能的解。

因此，P分別針對$s=17$和$s=28$的可能情況：

• $s=28$時，$(x,y)=(5,23)$而$p=115$，和$(x,y)=(11,17)$而$p=187$，兩個可能乘積都只能引出一種可能解，使得S無法斷言P不知道兩數。
• $s=17$時，經驗證後其滿足條件。

此時P確定$s=17$，$(x,y)=(4,13)$，因而說出：「現在我（P）知道$x$和$y$的值了」。

P回應後

S：若P能宣告他知道$x$和$y$的值，則P手中的$p$對應的可能組合中，「恰好只有一組」的和$s$能滿足「所有對應的可能乘積，均可引出超過一組可能解。」的篩選條件。

因此，S分別針對自己手中的7種可能乘積進行模擬與排除：

可能乘積 $p$	P考慮的可能組合與對應的和 $s$	P核驗 $s$ 是否滿足條件	結果
$30$	$${\begin{aligned}(2,15)&\to s=17\\(3,10)&\to s=13\\(5,6)&\to s=11\end{aligned}}$$	$s=17$與$s=11$皆滿足	P無法確定
$42$	$${\begin{aligned}(2,21)&\to s=23\\(3,14)&\to s=17\\(6,7)&\to s=13\end{aligned}}$$	$s=23$與$s=17$皆滿足	P無法確定
$52$	$${\begin{aligned}(2,26)&\to s=28\\(4,13)&\to s=17\end{aligned}}$$	$s=28$可拆為質數和$5+23$（不滿足）；僅剩$s=17$滿足	P可確定答案 （唯一解）
$60$	$${\begin{aligned}(2,30)&\to s=32\\(3,20)&\to s=23\\(4,15)&\to s=19\\(5,12)&\to s=17\\(6,10)&\to s=16\end{aligned}}$$	$s=23$與$s=17$皆滿足	P無法確定
$66$	$${\begin{aligned}(2,33)&\to s=35\\(3,22)&\to s=25\\(6,11)&\to s=17\end{aligned}}$$	$s=35$與$s=17$皆滿足	P無法確定
$70$	$${\begin{aligned}(2,35)&\to s=37\\(5,14)&\to s=19\\(7,10)&\to s=17\end{aligned}}$$	$s=37$與$s=17$皆滿足	P無法確定
$72$	$${\begin{aligned}(2,36)&\to s=38\\(3,24)&\to s=27\\(4,18)&\to s=22\\(6,12)&\to s=18\\(8,9)&\to s=17\end{aligned}}$$	$s=27$與$s=17$皆滿足	P無法確定

由上表可知，唯有$p=52$時P可以排除其他干擾項並得出唯一解。

此時S確定$p=52$，$(x,y)=(4,13)$，因而說出：「現在我（S）也知道$x$和$y$的值了」。

讀者視角

謎題給出的基本條件稱為條件A：$x,y\in \mathbb {Z}$，$1<x<y$，$x+y\leq 100$。

令兩數之和為$s$，兩數之積為$p=xy$，以下所有數對$(x,y)$皆預設符合條件A。

從S的第一句話可知，$s$所拆分出的每一組$(x,y)$，其乘積$p$皆可拆分成多於一組符合條件A的數對。因此，S在只知道$s$的情況下，便能肯定P無法單憑$p$確定$x$和$y$的值。（條件B）

從P的第一句話可知，P在知道$p$並得知$s$符合條件B後，檢視了$p$的所有可能分解$(x,y)$，發現其中「恰好只有一組」對應的和$s=x+y$符合條件B，故P得以確定$x$和$y$的值。（條件C）

從S的第二句話可知，S在得知P已確定答案後，檢視了$s$的所有可能拆分$(x,y)$，發現其中「恰好只有一組」對應的積$p=xy$符合條件C，故S亦得以確定$x$和$y$的值。（條件D）

依據條件A，$s$的最小值為$2+3=5$，最大值為$100$。以下篩選出所有符合條件B的$s$可能值：

• 若$x,y$皆為質數，則$p=xy$只有唯一分解，故$s$不可能拆分為兩個質數之和。由此可排除所有不小於$8$的偶數（根據哥德巴赫猜想，大於$2$的偶數皆可表示為兩個質數之和，且在$100$以內皆成立；注意到$6=3+3$不滿足$x<y$），以及「$2+\,$奇質數」的形式。
• 若$p=q^{3}$（$q$為質數），則$p$僅有唯一分解$(q,q^{2})$，故$s$不可能拆分為$(q,q^{2})$，由此排除$6=2+2^{2}$。
• 若$p$含有大於$50$的質因數$q$，由於$y<100$，必定有$y=q$，故$p$僅有唯一分解$(x,q)$，由此排除所有不大於$100$且可拆為$(x,53)$及以上質數的$s$，即排除不小於$53+2=55$的整數。
• 若$p=2q^{2}$（$q>10$為質數），由於$y<100$，$y$不可能為$q^{2}$，故$p$僅有唯一分解$(q,2q)$，即$s$不可能為$3q$。由此排除$51=3\times 17$。

$s$剩餘的可能值為：

$11,17,23,27,35,37,41,47,53$（記為集合$*$）

上述可能值皆符合條件B。因為$s$為奇數，任何拆分出的$(x,y)$必為一奇數$a$與一偶數$2b$：

• 當$b=1$時，$a$必為合數（否則即為「$2+\,$奇質數」，已被排除）。由於$a\leq 53-2=51$，故$a$必有小於等於$7$的質因數$q$。乘積$p=2a$可另拆為$a/q$與$2q$，易知其和不大於$100$，符合條件A。
• 當$b>1$時：
  • 若$a\neq b$，則乘積$p=2ab$亦可拆為$2a$與$b$。由於$a\leq 53-4=49$，其和$2a+b=(a+2b)+(a-b)=s+(a-b)\leq 53+(49-2)=100$，符合條件A。
  • 若$a=b$，則$a$為合數（$a$不是質數，因其$3$倍不在集合$*$中）。此時$a=s/3\leq 53/3<18$，故$a$必有質因數$3$。乘積$p=2a^{2}$可另拆為$2a/3$與$3a$，其和$2a/3+3a<66\leq 100$，符合條件A。（亦可直接驗證，集合$*$中僅有$27$為$3$的倍數。）

接下來檢查集合$*$中的$s$可能值是否滿足條件D：

注意到若$p=2^{k}q$（其中$q$為奇質數），則$p$僅有一組和為奇數的可能拆分$(2^{k},q)$。因此，若其和$2^{k}+q$符合條件B（即屬於集合$*$），則$p$必然符合條件C。

• $11$可拆分為$(4,7)$與$(8,3)$，對應的乘積$28=2^{2}\times 7$（和為$11$）與$24=2^{3}\times 3$（和為$11$）皆符合條件C，故$11$不滿足條件D。
• 同理，$23$可拆為$(4,19)$與$(16,7)$；$27$可拆為$(4,23)$與$(8,19)$；$35$可拆為$(4,31)$與$(16,19)$；$37$可拆為$(8,29)$與$(5,32)$；$47$可拆為$(4,43)$與$(16,31)$，故$23,27,35,37,47$皆不滿足條件D。

剩餘需要檢查的$s$可能值為$17,41,53$：

• $41$拆分為$(4,37)$的積符合條件C。另外拆分為$(2,39)$時，積$78$可拆為$(6,13)$（和為$19$）與$(3,26)$（和為$29$），由於$19$與$29$皆不在集合$*$中（不符合條件B），故$(2,39)$的積亦符合條件C，導致$41$不滿足條件D。
• $53$拆分為$(16,37)$的積符合條件C。另外拆分為$(5,48)$時，積$240$可拆為$(15,16)$（和為$31$）與$(3,80)$（和為$83$），由於$31$與$83$皆不在集合$*$中，故$(5,48)$的積亦符合條件C，導致$53$不滿足條件D。

檢查$17$的各拆分組合：

• $(2,15)$的積可拆為$(5,6)$，和為$11$（符合條件B），故$(2,15)$的積不符合條件C。
• 同理，$(3,14)$的積可拆為$(2,21)$（和為$23$）；$(5,12)$的積可拆為$(3,20)$（和為$23$）；$(6,11)$的積可拆為$(2,33)$（和為$35$）；$(7,10)$的積可拆為$(2,35)$（和為$37$）；$(8,9)$的積可拆為$(3,24)$（和為$27$）。上述各拆分的積所對應的另一組拆分，其和皆屬於集合$*$（符合條件B），故這些拆分的積皆不符合條件C。

因此，$17$的所有拆分中，唯有拆分為$(4,13)$時其積才符合條件C，故$17$滿足條件D。

由於$17$是集合$*$中唯一滿足條件D的值，由此可得出$s=17$，$x=4$，$y=13$。

參見

• 謝麗爾的生日
• 三個杯子問題

外部連結

• Puzzles by John Burkardt
• The Impossible Problem by Torsten Sillke（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Two Mathematicians Problem on mathforum（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Model Checking Sum and Product（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Survey: The Freudenthal problem and its ramifications（页面存档备份，存于互联网档案馆）