哈代-李特爾伍德極大函數

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數學上,一個局部可積函數哈代-李特爾伍德(Hardy–Littlewood)極大函數在一點的值,是所有以該點為中心的上函數的平均值上確界

定義[编辑]

對一個在\mathbb R^n上定義的局部可積函數f,可定義其哈代-李特爾伍德極大函數Mf如下

Mf(x)=\sup_{r>0} \frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y)

Mf(x)可能是\infty。) 其中m\mathbb R^n上的勒貝格測度

性質[编辑]

Mf(x)是下半連續函數

證明[编辑]

對任何x\in \mathbb R^m,可假設Mf(x) > 0。(否則幾乎處處f=0)

任意取0 < c < Mf(x)。從Mf定義知存在r > 0使得

c_1:=\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) > c

存在\delta >0使得(r/(r+\delta))^n > c/c_1。 對任何x'\in B(x,\delta),有B(x,r)\subset B(x',r+\delta) 所以

\begin{align}
& Mf(x')\\
&\geq\frac 1 {m(B(x',r+\delta))}\int_{B(x',r+\delta)}|f(y)|dm(y) \\
&\geq \frac 1 {m(B(x',r+\delta))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) \\
&= \frac 1 {m(B(x',r))} \left(\frac r {r+\delta}\right)^n\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) \\
&= \frac 1 {m(B(x,r))} \left(\frac r {r+\delta}\right)^n\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) \\
&> c_1 \cdot \frac c {c_1} = c
\end{align}

因此Mf是下半連續。

哈代-李特爾伍德極大不等式[编辑]

f\in\mathrm L^1(\mathbb R^n)可積函數,對任何常數c>0,有不等式

m(\{Mf>c\})\leq \frac{3^n\|f\|_{\mathrm L^1}}{c}

證明[编辑]

對每個在集合\{Mf > c\}內的點x,都有r_x>0,使得

\frac 1 {m(B(x,r_x))}\int_{B(x,r_x)}|f(y)|dm(y) > c

K\{Mf > c\}內的緊集(B(x,r_x))_{x\in K}K的一個開覆蓋。因K緊緻,存在有限子覆蓋(B(x_i,r_i))_{i=1}^N。(r_i:=r_{x_i}

維塔利覆蓋引理,這有限子覆蓋中存在子集(B(x_{i_j},r_{i_j}))_{i_j},當中的開球兩兩不交,而且將這些開球的半徑增至三倍後B(x_{i_j},3r_{i_j})可以覆蓋K。於是

\begin{align}
m(K) &\leq \sum_{i_j} m(B(x_{i_j},3r_{i_j}))\\
&=\sum_{i_j} 3^n m(B(x_{i_j},r_{i_j})) \\
&<\sum_{i_j} \frac {3^n} c \int_{B(x_{i_j},r_{i_j})}|f(y)|dm(y)\\
&\leq  \frac {3^n} c\int_K |f(y)|dm(y)\\
&\leq  \frac {3^n \|f\|_{\mathrm L^1}}{c}
\end{align}

上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性,集合\{Mf > c\}的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界,故有

m(\{Mf > c\})=\sup_K m(K)\leq  \frac {3^n \|f\|_{\mathrm L^1}}{c}

應用[编辑]

哈代-李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理

參考[编辑]

  • Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.