哈代-李特爾伍德極大函數

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數學上,一個局部可積函數哈代-李特爾伍德(Hardy–Littlewood)極大函數在一點的值,是所有以該點為中心的上函數的平均值上確界

定義[编辑]

對一個在上定義的局部可積函數f,可定義其哈代-李特爾伍德極大函數Mf如下

Mf(x)可能是。) 其中m上的勒貝格測度

性質[编辑]

Mf(x)是下半連續函數

證明[编辑]

對任何,可假設Mf(x) > 0。(否則幾乎處處f=0)

任意取0 < c < Mf(x)。從Mf定義知存在r > 0使得

存在使得。 對任何,有 所以

因此Mf是下半連續。

哈代-李特爾伍德極大不等式[编辑]

可積函數,對任何常數,有不等式

證明[编辑]

對每個在集合內的點x,都有,使得

K內的緊集K的一個開覆蓋。因K緊緻,存在有限子覆蓋。(

維塔利覆蓋引理,這有限子覆蓋中存在子集,當中的開球兩兩不交,而且將這些開球的半徑增至三倍後可以覆蓋K。於是

上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性,集合的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界,故有

應用[编辑]

哈代-李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理

參考[编辑]

  • Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.