哈代-李特爾伍德圓法

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數學裡,哈代-勒特伍德圓法是在解析數論中最常被使用的技術之一。其是以高德菲·哈羅德·哈代約翰·恩瑟·李特爾伍德來命名的,他們是在一連討論華林問題的論文中發展了此一技術。這個觀念一開始的起源通常被歸功於哈代在1916年和1917年中和拉馬努金整數分拆漸進分析中之研究。這被許多其他的研究者們所使用,包括哈羅德·達芬波特維諾格拉多夫,他們稍微地修改了其公式(由複分析移至指數和),但沒有改變大略的內容。上千篇論文使用著此一方法,且直到2005年,這個方法仍然被使用來產生新的成果。

問題中的圓一開始是在複數平面上的單位圓。假定問題一開始是一連串的複數

an, n = 0, 1, 2, 3, ...

想要求得其中的一些可能的漸進類型

an ~ F(n)

其中有一些啟發性的方法可以用來猜測F可能的類型,先寫下

f(z)= \sum a_n  z^n

,一個冪級數生成函數。其中有些有趣的例子在於f收斂半徑等於1的條件下,故將問題假裝已調整至承現出滿足此一條件。

經由此規劃之後,便可以直接由留數定理得出對每個整數 n ≥ 0,

I_n=\int f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2 \pi ia_n

其中這個積分是繞著圓心為0且半徑為0 < r < 1之r的圓來積的。

亦即,這是一個閉軌積分,其軌道是一個以逆時鐘方向繞了一圈的圓。為了使其較易回答,可以直接將r的值取1,即使用單位圓閉軌。但在複變分析中卻有著一些問題,因為f在單位圓上不一定總是會有定義。

圓法在其問題上的做法是強迫將r值取1,以對f在單位圓上之奇點的性質有足夠的了解之方式。對其基本的了解可以使用有理數的法里數列,或是等價地使用單位根

 \zeta\ = \exp \left ( \frac{2 \pi ir}{s} \right )

這裡的分母s是在r/s最簡分數下之分母,可以決定在ζ附近之f主要奇點的行為之相對的重要性。

哈代-勒特伍德圓法因此可以用複分析的方式來表現出來。當r 趨近 1時的In的值的分佈可以被分成兩個部份,傳統上稱之為大弧小弧。可以將ζ分成兩部份,分別是sNs>N兩部份,其中的N是一個依方便選定之n的函數。積分In可以將其積分範圍分成長度為s的長度(一樣是依方便選定的),和ζ相連的弧。這些弧可以形成整個圓圈,而其在「大弧」上積分的總和會是2πiF(n)(實際上,會存在一個可掌控的剩餘項)。剩下在「小弧」上的積分總和則可以被一個上界所取代,而且這個上界會數量級地小於F(n)。

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