哈瑟原則

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數學裡,赫爾姆特·哈瑟局部-全域原則,或稱為哈瑟原則,是一個表示「一個方程可以在有理數上被解若且唯若它可以在實數上『及』在每個質數pp進數上被解」的原則。

表示0的型[编辑]

二次型[编辑]

哈瑟-閔可夫斯基定理描述著局部-全域原則會由在有理數上之二次型來表示0的問題中成立(由閔可夫斯基證出);且更一般性地,會在任何一個數域上成立(由哈瑟證出),其中使用了所有合適的局部域的必要條件。循環擴張上的哈瑟定理描述著局部-全域原則可以應用在數域循環擴張之一個相對賦範的條件下。

三次型[编辑]

恩斯特·賽爾瑪提出的反例表示哈瑟-閔可夫斯基定理不可以擴伸至三次型,如三次型3x3+4y3+5z3可以在p進數上表示0,但不能在Q上表示。[1]

羅傑·希思布朗[1]證明每個在整數上至少有14個變數的三次型可以表示0,改進了由哈羅德·達芬波特所證明出的早期成果[2]。因此局部-全域原則當然地會在有理數上至少有14個變數的三次型上成立。

若將其限定在無奇點的類型上,即可以得到更好的結果:希思布朗證明每個在有理數上至少有10個變數之無奇點的三次型都可表示0[3],因此可以當然地建立起在此一類型上的哈瑟原則。可知在最有可能的義意下,可知會存在一個不會表示零的9個變數之於有理數上的無奇點三次型。[4]無論如何,荷利證明出了哈瑟原則會在由在有理數上至少9個變數之無奇點三次型來表示0的條件下成立。[5]達芬波特、希思布朗和荷利在他們的證明中都是使用哈代-勒特伍德圓法。根據馬寧的想法,哈瑟原則在三次型中成立的障礙是被挷在布勞爾群的理論之中;而現在只表現出此一設定還不是個完整的故事(Alexei Skorobogatov, 1999)。

更高次型[编辑]

藤原正彦Masaki Sudo提出的反例表示哈瑟-閔可夫斯基定理不可以延伸至10n+5次型,其中的n是一個非負整數。[6]

在另一方面,柏區定理證明出若d是一個奇數,則存在一個 N(d),使任何有多於 N(d) 個變數的 d 次型皆能表示 0:哈瑟原則在此當然地成立。

另見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Ernst S. Selmer, The Diophantine equation ax3+by3+cz3=0, Acta Mathematica, 85, pages 203-362, (1957)
  2. ^ H. Davenport, Cubic forms in sixteen variables, Proceedings of the Royal Society London Series A, 272, pages 285-303, (1963)
  3. ^ D. R. Heath-Brown, Cubic forms in ten variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 47(3), pages 225-257, (1983)
  4. ^ L. J. Mordell, A remark on indeterminate equations in several variables, Journal of the London Mathematical Society, 12, pages 127-129, (1937)
  5. ^ C. Hooley, On nonary cubic forms, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 386, pages 32-98, (1988)
  6. ^ M. Fujiwara, M. Sudo, Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails, Pacific Journal of Mathematics, 67 (1976), No. 1, pages 161-169

外部連結[编辑]