商空间

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拓扑学及其相关数学领域,一个商空间quotient space,也称为等化空间identification space)直观上说是将一个给定空间的一些点等同或“黏合在一起”;由一个等价关系确定哪些点是等同的。这是从给定空间构造新空间的常见方法。

定义[编辑]

假设X是一个拓扑空间,~是X上一个等价关系。我们在商集合X/~(这个集合有所有~的等价类组成)上定义一个拓扑如下:X/~中一个等价集合是开集当且仅当他们的并集X中是开集。所得的拓扑称为在商集合X/~上的商拓扑quotient topology)。

等价地,商拓扑可以如下方式刻画:设q : XX/~是投影映射,将X的任何元素映为它的等价类。则X/~上的商拓扑是使q 连续最细拓扑finest topology)。

给定一个满射f : XY从一个拓扑空间X到一个集合Y,我们可以在Y上定义商拓扑为使f连续的最细拓扑。这等价于说集合VYY中开当且仅当它的原像f−1(V)在X中开。映射fX上诱导了一个等价关系,即x1~x2当且仅当f(x1) = fx2)。这个商空间X/~ 同胚Y(带着它的商拓扑),同构映射为将x的等价类映为f(x)。

一般地,一个满连续映射f : XY称为一个商映射quotient map)如果Y具有由f确定的商拓扑。

例子[编辑]

  • 黏合:通常,拓扑学家讨论将一些点黏合在一起。如果X是一个拓扑空间,点x,y \in X“黏合”在一起,这意味着我们考虑由等价关系a~b当且仅当a = ba = x, b = y(或a = y, b = x)得到的商空间。即这两个点被看作一个。
  • 考虑一个单位正方形I2 = [0,1]×[0,1]以及由所有边界点等价生成的等价关系~,从而所有边界点等同到一个等价类。则I2/~同构于单位球面S2
  • 黏着空间Adjunction space):更一般地,假设X是一个空间,AX的一个子空间。我们可以将A中所有点等同到一个等价类,而A以外的点不变。所得的空间记作X/A。2维球面同构于将单位圆盘的边界等同为一个点D2/∂D2
  • 考虑集合X = R',取通常拓扑的实数集,记x ~ y 当且仅当xy是一个整数。则商空间X/~同构于单位圆周S1,同构映射为将x的等价类映为 exp(2πix)。
  • 上一个例子的一类大量的推广如下:假设一个拓扑群G连续作用在空间X上。我们可以构造X上一个等价关系,如果两点等价当且仅当它们在同一个轨道中。这个关系下的商空间称为轨道空间,记作X/G。上一个例子中G = Z通过平移作用在R上。轨道空间 R/Z同构于S1
:记号R/Z有歧义:如果Z理解成一个群作用在R上则商空间是圆周;如果Z看作R的一个子空间,则商空间是无穷的一束圆bouquet of circles)在同一个点联接起来。

性质[编辑]

商映射 q : XY是由如下性质刻画的满射:如果Z是任何拓扑空间,f : YZ是任何函数,则f连续当且仅当f O q连续。

商空间的特征性质

商空间X/~与商映q : XX/~一起由如下泛性质刻画。如果g : XZ是一个连续映射使得:对所有ab属于Xa~b蕴含g(a)=g(b),则存在惟一连续映射f : X/~ → Z使得g = f O q。我们称 g“下降到商”。

因此定义在X/~商的连续映射恰是由定义在X上与等价关系一致的连续映射(它们将同一个等价类中的元素映到相同的像)诱导的。在研究商空间时,时常使用这个判据。

给定一个连续满射f : XY,关于f是否为商映射的判据是有用的。两个充分条件是f开映射闭映射。注意这两个条件只是充分条件而不是必要的。容易构造出不开或不闭的商映射例子。

与其它拓扑概念的相容性[编辑]

  • 分离
    • 一般地,商空间关于分离公理的表现都很坏。X的分离性质不必被X/~继承,而X/~可能具有X所没有的分离性质。
    • X/~是一个T1空间当且仅当~的任何等价类在X中闭。
    • 如果商映射X/~是一个豪斯多夫空间当且仅当~是乘积空间X×X的一个子集。
  • 连通性
    • 如果一个空间是连通的或道路连通,则所有的商空间也是。
    • 一个单连通可缩空间的商空间不必具有同样的性质。
  • 紧性
    • 如果一个空间紧,则所有商空间也是。
    • 一个局部紧空间的商空间不必是局部紧的。
  • 维数

又见[编辑]

拓扑学[编辑]

代数[编辑]

参考[编辑]

  • Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
  • PlanetMathQuotient space的資料。