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单群

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群论
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数学上的单群英语Simple group)是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群,都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群若尔当-赫尔德定理表明,这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列(最多相差一个置换)。在2008年完成的有限單群分類工作是数学史上一个重要的里程碑。

定義[编辑]

(G, *) 為群,如果其內的正規子群只有 G 本身與單位元e组成的群(平凡群)\{e\},則稱之為单群

例子[编辑]

有限单群[编辑]

循环群G = Z/3Z,即模3的同余类在加法运算下形成的群是单群。这是因为,若H是这个群的一个子群,则它的一定是群G的阶3的约数,因为3是素数,所以H只能是G或者平凡群。另一方面,群G=Z/12Z就不是单群。因为任意阿贝尔群的子群一定是正规子群,且12为合数,故很容易找到它的一个非平凡正规子群。例如,由模12余0,4,8的同余类组成的子群就是它的一个阶为3的正规子群。类似地,整数集 Z 与加法运算组成的群也不是单群,由偶数集2Z和加法组成的群是它的一个非平凡正规子群[1]

按照上面的方法可以证明,阿贝尔单群只有素数阶循环群。最小的非阿贝尔单群是交错群 A_5 ,它的阶是60,而且可以证明每一个阶为60的单群都与 A_5 同构[2]。第二小的非阿贝尔单群是射影特殊线性群 \mathrm{PSL}(2,7) ,它的阶是168。可以证明,阶为168的单群都与 \mathrm{PSL}(2,7) 同构[3][4]

\mathrm{PSL}(2,7)是有限域上的典型群的一个例子,它也是一个有限阶李群。除了素数阶循环群、交错群和有限阶李群(包括典型群和例外或缠绕李群)之外的有限单群统称为散在群,详见有限单群分类

无限阶单群[编辑]

无限阶交错群,即由整数的所有偶置换组成的群A_\infty是单群。另一个无限阶单群的例子是域F上的射影特殊线性群\mathrm{PSL}_n(F),其中 n\geq 3

相比之下,要构造有限生成的无限阶单群就困难得多,最早的例子由格雷厄姆·希格曼英语Graham Higman提出,它是希格曼群英语Higman group的子群[5]。 其它的例子包括湯普森群 T 和 V。有限表现无挠(torsion-free)的无限单群被伯格-莫泽什(Burger-Mozes)构建。[6]

分类[编辑]

到目前为止,未有对一般单群进行分类的方法。

有限单群[编辑]

有限单群是很重要的,因为在一定意义上,它们是所有有限群的“基本组成部分”,有点类似于质数整数的基本组成部分。

有限单群的结构[编辑]

法伊特-湯普森定理声称,所有的奇数阶群都是可解群。 因此,除素数阶循环群外,所有有限单群的阶都是偶数。

群的非单性判据[编辑]

西羅测试:设n为一正合数,p是它的一个素因子。 若在n的所有约数中只有 1 模p同余于 1,则不存在阶为n的单群。

证明:如n为一素数幂,则阶数为n的群有非平凡的中心[7],因而不是单群。若n不是素数幂,则阶数为n的群的每一个西罗子群都是真子群,由西羅第三定理可知, 阶数为n的群的西罗p-子群的个数模p同余于1且为n的约数。但由上面的假设,这样的数只有1,这表明该群只有一个西罗p-子群,因此,根据西罗定理,该西罗子群是正规子群。根据上面的讨论,它又是一个真子群,从而它是阶数为n的群的一个非平凡正规子群,所以阶数为n的群不是单群。

重要性[编辑]

「单群」之「單」在於它們不能再化約為較容易處理的群,因為正規子群 H 可以對將 G 的一部分研究化約為對商群 G/HH 的研究,而對单群無法行此化約。

有限单群之於有限群論,一如素數之於整數論;它們可以被視為有限群的基本構件。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Knapp (2006), p. 170
  2. ^ Rotman (1995), p. 226
  3. ^ Rotman (1995), p. 281
  4. ^ Smith & Tabachnikova (2000), p. 144
  5. ^ Higman, Graham, A finitely generated infinite simple group, Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 1951, 26 (1): 61–64, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59, ISSN 0024-6107, MR 0038348 
  6. ^ M. Burger and S. Mozes. " Lattices in product of trees." Publ. Math. IHES 92 (2000), pp.151–194.
  7. ^ 例如,参见en:p-group里的证明

教科书[编辑]

  • Knapp, Anthony W., Basic algebra, Springer, 2006, ISBN 978-0-8176-3248-9 
  • Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics 148, Springer, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8 
  • Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga, Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series 2, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-235-8 

外部链接[编辑]